← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.90112_442368_499712.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((3601226387735320960817040818a^{2} - 117140142381209955568417556164a + 85654613917033371504299257668)\mu_3 + (137895946452974715304297004348a^{2} - 124080513612968669948157997211a - 111807934996759735105969068487))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 1)b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b + (3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + (3a^{2}\mu_3 - 3a^{2} - a + 2))c + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b + (a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a - 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + 4a^{2}b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - a + 2)b + 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - a + 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a)\cdot c + ((-a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3))b^{2} + ((3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - a + 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 1))b + (4a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - 2)\mu_3 - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 4))b^{2} + ((3a - 2)\mu_3 - a^{2} - 2a - 1)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a + 4))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + (2\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (-3a^{2}\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((3a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a - 1))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2))c + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((-a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4))b + (-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} - a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 3)b + (-3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (542488457517721306080841356768a^{2} - 629788233195458877145458078692a - 461169749995832441123770699476 )x^{47} + (-257916843742740214650546006284a^{2} + 355496880519073835780226216816a + 178306166510787302966357766252 )x^{46} + (524662564192438171999785269612a^{2} + 438119039312848771300220335504a + 57946262130963648911114008148 )x^{45} + (269177813224951902192841078136a^{2} + 414776270052869402654046273284a + 16586019119264791807669467020 )x^{44} + (-332243940577802411895120935336a^{2} + 483048561091296017937850940456a + 151921175979314051408639088272 )x^{43} + (622826730623327480971433883002a^{2} - 267668515523919854231313479620a + 373854415273839161070966503804 )x^{42} + (195784478373026017487409402676a^{2} - 358256984939303884777196300588a + 390641591625689935958571560916 )x^{41} + (434257750018978313484306950220a^{2} + 2149231647852457713132951588a + 331478586084630662116392513644 )x^{40} + (-184124025790438736393556119732a^{2} + 211261976299137535439122139740a - 32622607408441901361963616584 )x^{39} + (167562609233467815570579488856a^{2} - 464783925665314960446566385056a - 626106864786898815423742305688 )x^{38} + (-316720237556831207993210925648a^{2} + 214253662870186084167908177660a + 620364488328988880519531241228 )x^{37} + (-26314427629611659448600203800a^{2} - 59082097123999154887304119500a - 530887364844883401825379602372 )x^{36} + (145665722187016634026868720648a^{2} - 586182994303004849635182610000a - 33186221416483389556990532712 )x^{35} + (-539181911593461130386404922440a^{2} - 515023068390943042531380400244a - 35893811129843299481459131932 )x^{34} + (-487459671895936974967887197752a^{2} + 224892853567013320505651628260a + 273211895375235833495972085712 )x^{33} + (468996339045615725774357242444a^{2} - 251826300363016299002962870464a - 156581861022454304904796923400 )x^{32} + (60710144002468065947273029344a^{2} - 557320828596773993390522700192a - 270078674214979600266325181744 )x^{31} + (560235514176428877508500751120a^{2} + 174992570429682259128186810432a + 313765856776032067525025678964 )x^{30} + (-408323635661491212624068047824a^{2} + 498976598309437272298038149824a + 128039206739193925557269912784 )x^{29} + (630887642364892213249548666696a^{2} + 492896124831472041005534017184a - 103269036278965318340617073912 )x^{28} + (-567727907163841845788515064128a^{2} - 103174840542887707261834564856a + 220784992056656930724299707272 )x^{27} + (380079702213261051197671016588a^{2} - 248115987417676297193082025824a - 383359075185492809746028871532 )x^{26} + (-82543239239868552120081321704a^{2} + 539243003314713864386061679776a - 160271724360425671523055440824 )x^{25} + (132744766089717326411177785588a^{2} + 262105502589700897636711232668a + 628690419536081127728308354696 )x^{24} + (41063694329403048442809374032a^{2} - 75623450306815482013472563136a - 516477258552931909679831360296 )x^{23} + (228119457689430280208923169072a^{2} - 444190993037350498038602939144a - 252360068443679465285767342504 )x^{22} + (391466581231859762297575272984a^{2} - 292677794810811719397878011136a - 47395291256809360074075686432 )x^{21} + (427003269223887264972039141200a^{2} - 589710410730550270673487873888a - 408904134777223452689981981384 )x^{20} + (-575097424144473939140875859704a^{2} - 309780687738858239865519340288a + 88790750339437269972151183944 )x^{19} + (-333255843274836093040971101636a^{2} + 573791628138487569381541706248a + 504860146915408429498613769504 )x^{18} + (-160142006826909924579561810232a^{2} + 1150709706704244911125528a + 463944400065043433989352978808 )x^{17} + (-172500347708161858453554340216a^{2} + 520656531596440007586427958728a + 115691872672144618677981512888 )x^{16} + (-8435650384115457763048546672a^{2} + 148379292261295253023619415520a - 163196203034940567590668798208 )x^{15} + (-233394709629761174303945385680a^{2} - 89710646859448866757581107840a + 288328155175594684466096709872 )x^{14} + (-609265088946991876780889500688a^{2} - 300054352680963658897849397112a + 323638942689812418380030809384 )x^{13} + (581916991925641507232598649428a^{2} - 262374375165037523813227534816a + 92613448574486847068287071756 )x^{12} + (-446276204663011676316604773872a^{2} + 260557138724280366054376995360a - 150769940377014798550097818448 )x^{11} + (-266329330728216658523197440384a^{2} + 429026984216509364257028428952a - 211717113501589437666128636376 )x^{10} + (318428350175511130859483827120a^{2} - 93814837685686827523259877560a + 221948168956407195421774190592 )x^{9} + (567840618001162391274362780736a^{2} - 420164452640447183932641142208a - 578889882463850780196402928288 )x^{8} + (524768572485602621420613999216a^{2} + 108588346029600923789514965824a + 352919637922484447099184639872 )x^{7} + (-112348797932582529890153729392a^{2} + 399514925479160190460247791536a - 364722749688810580234484389336 )x^{6} + (502196569004780038172959316704a^{2} + 135913704320614905782882880656a + 97454355173623321462254119856 )x^{5} + (181936905291727444917801989232a^{2} - 177627576533987789780484713488a + 166214726813461083115472746064 )x^{4} + (-351600346271275718758866945840a^{2} + 98012443786516080598024826704a + 224381602292334133213254239184 )x^{3} + (-370160143261129866791432442952a^{2} + 17754754546544887512153722352a - 306768821100874698016321755304 )x^{2} + (-524676086192768757022067636544a^{2} + 261348718452036007188385622112a + 64404440801657136046592736016 )x + 214334784834325599210689076184a^{2} + 520764197630070089797770022744a - 391500184402174182164028921156 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary