← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.90112_442368_499712.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((3601226387735320960817040818a^{2} - 117140142381209955568417556164a + 85654613917033371504299257668)\mu_3 + (137895946452974715304297004348a^{2} - 124080513612968669948157997211a - 111807934996759735105969068487))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 1)b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b + (3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + (3a^{2}\mu_3 - 3a^{2} - a + 2))c + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b + (a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a - 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + 4a^{2}b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - a + 2)b + 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - a + 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a)\cdot c + ((-a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3))b^{2} + ((3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - a + 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 1))b + (4a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - 2)\mu_3 - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 4))b^{2} + ((3a - 2)\mu_3 - a^{2} - 2a - 1)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a + 4))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + (2\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (-3a^{2}\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((3a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a - 1))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2))c + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((-a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4))b + (-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} - a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 3)b + (-3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (542488457517721306080841356768a^{2} - 629788233195458877145458078692a - 461169749995832441123770699476 )x^{47} + (262913414418452941397446465948a^{2} - 23898899008593227022874751056a - 142604964518292977717562743316 )x^{46} + (137536972106366452447149202108a^{2} - 420474558937947382901310594992a + 8967768869126997051615742692 )x^{45} + (-496231923512262558633244677784a^{2} - 34230899903645776719748428a - 466090988808514991955732076244 )x^{44} + (83184468432154335579201229848a^{2} - 575532941715983154773686084472a - 268850966026259879534642466528 )x^{43} + (-487186796144853819570816797934a^{2} - 582945431454503368407628967576a + 621432303904246308097377285016 )x^{42} + (-107075397314409095705582408884a^{2} + 552415098253154758834586065532a + 81786839217253062997577762396 )x^{41} + (-44575081578874199401046317588a^{2} + 133537649168721044294045734900a + 535133448783724607267090717724 )x^{40} + (-124093186054534254507379280708a^{2} + 226849818225837062676337707132a + 168118812688879402364286607576 )x^{39} + (46501120834596043566768532520a^{2} + 474638921769953821361690280048a + 120495967884345723511654038744 )x^{38} + (281850989664345632746038182088a^{2} - 80384778026195954283663720716a - 413835186897685106916685752004 )x^{37} + (-284815005285680733684138423800a^{2} - 205678715134317341899108096844a - 440455653374404090105709379244 )x^{36} + (-510389590208996221467836833960a^{2} - 286932805570577861833448960176a + 245319922321257152191678884712 )x^{35} + (10141928146997193826334519616a^{2} - 282617368912046171758558088196a - 501400849708715919743479818916 )x^{34} + (-190697050851393790771662076752a^{2} - 311966258857064621933947476524a - 38467091596844075626795570368 )x^{33} + (532105748696086537845880417516a^{2} + 571625711649727126351631070720a + 133189065927992316107262220584 )x^{32} + (534041182211034273715543983968a^{2} - 600783692105490342558460973024a + 174296592258981537878978042704 )x^{31} + (-580911644221827984855085979904a^{2} + 117619601911961165797484310304a + 427659642707928856190448600228 )x^{30} + (-352252329270451950776930226032a^{2} + 520766776496005208379819721792a + 187430847955368582226972357840 )x^{29} + (624820600090272000192266037640a^{2} - 509746653102161500656169940352a - 460650006317075246342540703976 )x^{28} + (-572739509383605702825732793296a^{2} - 450711391382416286296066123992a - 417311984815734145227840539928 )x^{27} + (476607657923443491371453543052a^{2} + 364142328015358711343974199296a - 493373111419851842119145866892 )x^{26} + (-495438498588589041464222444632a^{2} - 297456770984076703130836975600a - 452757343644299538775943961832 )x^{25} + (338089742188321115599216870244a^{2} + 246605177272983560069159694388a + 416421201815959389698159984248 )x^{24} + (193159292219081715722541908656a^{2} - 295791377151714365890555064960a + 213038020273126082600891264984 )x^{23} + (199926149807562379769588661632a^{2} - 626315647781588285522115524072a - 258227933851793632045684495832 )x^{22} + (558780500486470005838481477432a^{2} + 389301610408228781375099002000a - 148343119578265775354259717488 )x^{21} + (447515066462457631305186358880a^{2} + 470651647897754739815367622208a + 207043059886658694106653821096 )x^{20} + (294143695725898353592147598696a^{2} - 524306066620392745532874974848a + 95072138386376750626491662248 )x^{19} + (-357240365326078610624722126500a^{2} + 2277937398783539517209428760a + 464977586038333381656135940880 )x^{18} + (50560939765281220984329835304a^{2} + 433370233843735086381247884840a - 85095794306393199655363453352 )x^{17} + (48671398571941830443613004200a^{2} + 121733591365236039562040200616a - 627762182223032305074371240600 )x^{16} + (594560855749077518637401580688a^{2} - 463485337270559910923276110368a + 561259873106694746329424165184 )x^{15} + (-236760108114524168038850947632a^{2} + 266880103725432427385484021248a + 59132360181991903137820804560 )x^{14} + (330416127883149567864962086160a^{2} + 443640882635872378741292362888a + 66281785509801582657495158216 )x^{13} + (568579586809670623817572404036a^{2} - 454887386444624442897135544016a + 220790797224147198457894042492 )x^{12} + (166718854754545505316824453392a^{2} - 64980448163978075676991934720a - 610644383190378825008969733008 )x^{11} + (-73771745612222012420405931680a^{2} + 118430355600656337334711468200a - 80040266509868649307967231912 )x^{10} + (-523756946116029750587087982224a^{2} - 223735089682691871984160692888a - 133956289933750192417131671680 )x^{9} + (50490760093588024048908632352a^{2} - 356933482074741513332665875744a + 176298657446794387135475971392 )x^{8} + (446330736814360286455921919856a^{2} - 203440082927110061459449478976a - 497494812521233751293346265472 )x^{7} + (86494343770821963694925205392a^{2} - 470103331398157895784854454848a - 610118589942782280912764072856 )x^{6} + (-505710814907147687718005377888a^{2} + 350848868141002800713463208784a + 327455835444389524091498654480 )x^{5} + (598092481221071757586834378832a^{2} + 265309552159230824144724733104a - 252544120800144501292608280208 )x^{4} + (-114381011318207508631712727952a^{2} - 525056275751965437472064600432a - 51469034449149647470064249808 )x^{3} + (546373677573370444531316788600a^{2} + 480299218329486380525105243600a + 187772981712496586434535542408 )x^{2} + (-188066890764505275913221487456a^{2} + 402850582313874691272250872352a + 217520556443911350641097337264 )x - 218344888432228349016123524008a^{2} - 431597761230968462866816259352a - 445284856893558284890179785652 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary