← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.90112_442368_499712.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((3601226387735320960817040818a^{2} - 117140142381209955568417556164a + 85654613917033371504299257668)\mu_3 + (137895946452974715304297004348a^{2} - 124080513612968669948157997211a - 111807934996759735105969068487))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 1)b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b + (3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + (3a^{2}\mu_3 - 3a^{2} - a + 2))c + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b + (a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a - 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + 4a^{2}b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - a + 2)b + 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - a + 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a)\cdot c + ((-a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3))b^{2} + ((3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - a + 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 1))b + (4a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - 2)\mu_3 - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 4))b^{2} + ((3a - 2)\mu_3 - a^{2} - 2a - 1)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a + 4))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + (2\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (-3a^{2}\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((3a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a - 1))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2))c + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((-a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4))b + (-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} - a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 3)b + (-3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (542488457517721306080841356768a^{2} - 629788233195458877145458078692a - 461169749995832441123770699476 )x^{47} + (-178960459755180432074017185684a^{2} - 322982668578586573083340683328a + 28262799847193265701923406980 )x^{46} + (477303912575367076852972928364a^{2} - 451466879139902331745076302464a + 106885856128686087875277555652 )x^{45} + (-317271248854267913775956898520a^{2} - 246846801559100077291828703372a - 610000631527517474121542996164 )x^{44} + (579261174345828206716004468008a^{2} + 487686314323900358079886262136a + 84287649336188789732971515872 )x^{43} + (-152527270506385588851150228366a^{2} - 323117128990443877705651742940a - 502665608971852944493940979296 )x^{42} + (405152255580039091604205843100a^{2} + 509247253543607303085861188596a + 68570488998422095768666748564 )x^{41} + (-353033160003604144359606598068a^{2} - 567720664024376087573511686780a + 155689281242679647196527318476 )x^{40} + (-336824250737737650267644856580a^{2} - 498062407866853923792736917636a + 315756117767274865640541256584 )x^{39} + (-265723519971551437042696741992a^{2} + 38900762288465978212590707568a + 163054523256027475237509130248 )x^{38} + (-209505130252021278057344062240a^{2} + 339045167259641454138428769220a - 467813674782168657920837343620 )x^{37} + (-49114761802386492566026206656a^{2} - 287228077067595607717517123348a - 516602249818331862479493918532 )x^{36} + (-574000879135310170088520358296a^{2} + 116589127503019855655271576720a - 612695800775133003567731082712 )x^{35} + (57544481619795448236450031656a^{2} - 405632837341404399689066329548a - 336630740687996145716997846916 )x^{34} + (-91039513274750630406595495712a^{2} - 89355058802450852790358386956a - 108153411684021980838828117432 )x^{33} + (-346816140994432410104422457188a^{2} - 48231134685407376972229181664a + 380263519051387406076232275736 )x^{32} + (-342641707433127413304809685760a^{2} + 203582616598179955212910295808a - 60518341059649692448252011248 )x^{31} + (-360568920141068197417311474512a^{2} + 411784041185232404999736039120a + 38360617973939915284772498500 )x^{30} + (632321275375840851476084212176a^{2} - 53379779347886135717631818912a - 129425163547333864525720132208 )x^{29} + (332007942460846290693782539720a^{2} - 209026515232395997529398383600a + 63427026236045974889529170520 )x^{28} + (-24760356237065663340795199808a^{2} - 617291594288619281226952118392a + 524822614428593334959469851160 )x^{27} + (196312374938121322294360002892a^{2} + 508276135496426654034649964016a - 89618126553822764124735522300 )x^{26} + (410230895310531981742650756296a^{2} + 401193760537196548024060732112a + 131514702772513207800713824520 )x^{25} + (-91747650990729436311113744660a^{2} - 476239524465912670401235582108a + 144719772469325721247871882880 )x^{24} + (-25425885435967499131292015056a^{2} - 496653896859428023002788105216a + 53580104026848415270710062392 )x^{23} + (-97031947966315582369824227184a^{2} + 617078681072263330318070762888a - 84072751597930047592937708760 )x^{22} + (-153244512746813276232068623624a^{2} - 239314034476899332210654444416a - 69848578811889229797121788208 )x^{21} + (-500512071518147025000901765808a^{2} - 352707426826812658708732389520a - 225375729272784712133561971112 )x^{20} + (-145131333782880868148568302776a^{2} + 419494962697484720655269260096a - 127716720580249200743821476856 )x^{19} + (212836433785093955407403395852a^{2} + 527996795071208513371912447704a - 467764214255001405382520058752 )x^{18} + (628154965947909325674994534136a^{2} - 101750771067116683305797731672a - 407193066474904198243375851768 )x^{17} + (614440354523757504262446030968a^{2} + 291236974816155222635834276024a - 385195639063308765909866223368 )x^{16} + (441402167284057403073612524240a^{2} - 361486074603708345543300791072a + 290917511782386368786842598592 )x^{15} + (619856063888114084168060210256a^{2} - 191586200709717313125444627488a + 125842911176219885223043295888 )x^{14} + (-277146022205344839232178605456a^{2} + 354106281658712567912455784360a + 526297680048549455296982388808 )x^{13} + (-285396931704438987335224021020a^{2} - 516840539936937412007114736608a - 250020926799324828828988789044 )x^{12} + (-41161620975720754789672863088a^{2} + 444727631511544181655066567520a - 200825709710960639077409722640 )x^{11} + (-564776151346122542297675598624a^{2} + 216538619515066593269367425176a + 247090027437623728894082691864 )x^{10} + (289961172164157751991857264112a^{2} - 136966467264719601387783806008a + 180827737123764252744945163424 )x^{9} + (-118755659048767074694817341664a^{2} - 304009581213263968756361597408a - 188505255421137673831696648608 )x^{8} + (-115444354153272970449943908240a^{2} + 158511656489308679847796414016a - 504589932396974420311173093696 )x^{7} + (599548228419025854735982167232a^{2} - 480220134771486842690268408448a - 418235948474581778818770547208 )x^{6} + (-559267405317613657157130241088a^{2} - 137381051860379078096433805968a - 228907357386965906937200274896 )x^{5} + (207619500772850194952409787216a^{2} - 162389879040412798271660305200a - 470966088930229267642442466672 )x^{4} + (-546971470199246107417551697584a^{2} - 245034740287685518176250491728a - 395851351755465556830978861840 )x^{3} + (188630354633542682085240521160a^{2} + 123629696878854400201177626464a + 616465992641264742237196821144 )x^{2} + (-561466648865306673524839472128a^{2} + 490442071236980587628527158880a - 406477287183499793264216776656 )x + 85355587955981858431566611528a^{2} - 323427665075847801839431198360a - 354814728119026285182690889812 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary