← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.90112_442368_499712.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((3601226387735320960817040818a^{2} - 117140142381209955568417556164a + 85654613917033371504299257668)\mu_3 + (137895946452974715304297004348a^{2} - 124080513612968669948157997211a - 111807934996759735105969068487))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 1)b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b + (3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + (3a^{2}\mu_3 - 3a^{2} - a + 2))c + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b + (a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a - 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + 4a^{2}b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - a + 2)b + 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - a + 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a)\cdot c + ((-a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3))b^{2} + ((3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - a + 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 1))b + (4a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - 2)\mu_3 - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 4))b^{2} + ((3a - 2)\mu_3 - a^{2} - 2a - 1)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a + 4))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + (2\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (-3a^{2}\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((3a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a - 1))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2))c + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((-a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4))b + (-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} - a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 3)b + (-3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (542488457517721306080841356768a^{2} - 629788233195458877145458078692a - 461169749995832441123770699476 )x^{47} + (-589656847424246535575346857548a^{2} - 602487869979171785039908595712a - 125198498202168910481608584332 )x^{46} + (-506406856908682442636588175140a^{2} - 194317642148626033023704356768a + 458680190280831596936122683092 )x^{45} + (-10757191062786669396183541800a^{2} + 589855429105071007576159531140a - 11874394352320081050370225316 )x^{44} + (-602917629539336694730194007384a^{2} + 63943427824800004560881230040a + 224191483412915082443750528176 )x^{43} + (-219461449026007442836358895014a^{2} + 140557483993730794231453272424a + 252697645912313595279100009212 )x^{42} + (387349129038754163941380543988a^{2} - 197065723209536945373149503796a + 510080015096764889811796244684 )x^{41} + (453877180266974600485546998796a^{2} + 388150458926035849415668273844a - 281183960064176986323731043876 )x^{40} + (620418560981934099086051066860a^{2} + 116120155021303859751056667292a - 153068983966693000054988803960 )x^{39} + (238650925510690977584028175464a^{2} + 298931048622775341343170320384a - 157528136911159808192175729736 )x^{38} + (-59413137274682901351435180312a^{2} + 210916156794998213669618889532a + 142548057782271301982903642572 )x^{37} + (186919609481487971635866208592a^{2} - 616433249671913818555597481316a - 559241482448275087830976139100 )x^{36} + (460402061798418173987811055352a^{2} - 320740911349148135429002546608a + 406252442844012107414288579224 )x^{35} + (-553346561093164476853465482368a^{2} - 135227664297970069665315486380a - 545733524972200934725658165868 )x^{34} + (69659825372845690977920167624a^{2} - 39078363870797463325575174108a - 538074298406730791922904488760 )x^{33} + (290755595061868949237592562140a^{2} + 118228710119542600893224694528a - 147922282443499087028182703352 )x^{32} + (415950715652691469051390561344a^{2} + 497807650839923956804606536000a - 518146581885416207748073498096 )x^{31} + (-325100858113055644392441428352a^{2} - 604249797382330380689288925296a + 310124129241767539051566223540 )x^{30} + (-45221321967821007231601079184a^{2} - 266767112561071345715875647136a - 391724125148299942164206505776 )x^{29} + (-249273697481524336415689484920a^{2} - 283576149164354180675621147792a + 193558056497242628725019371720 )x^{28} + (-106804662119640732780142640144a^{2} - 375478166518977639731199360472a + 63750713873959634135743156856 )x^{27} + (311028597305704475021469261324a^{2} + 249929050939615630447282784176a - 341200399578723499243855108572 )x^{26} + (174182764746618462026952566744a^{2} + 214687080095617121411027225120a - 275740167809627950420215036136 )x^{25} + (190420169104566533430413528812a^{2} + 61941507458892466246352496540a - 296503430509929170345668318240 )x^{24} + (-523712545425300049023040660848a^{2} - 409924658417563927508504125376a + 401588430870768895586272784504 )x^{23} + (-328164230757343380643448474688a^{2} + 524491026052160766592322927368a + 155483611026889658698055044920 )x^{22} + (229158595898717219206190658200a^{2} - 385360451673481303724563514192a + 218440374361063160600259066944 )x^{21} + (-131980334200370388182928246944a^{2} + 412132364839141695841082309584a - 499046345895377106151747980632 )x^{20} + (629253121653107058086652570856a^{2} - 72431067153554971619213556416a - 74147772649013256345147458584 )x^{19} + (51197144855155020986160626540a^{2} - 264014194565184958869669417304a + 471908622709492680149724915344 )x^{18} + (17437681777334291027328992376a^{2} + 77734022233689451292649119416a - 409211824372389342395340186040 )x^{17} + (22280002066443154547462873720a^{2} - 628560041708885785552187145544a - 599943536186615549016989195704 )x^{16} + (45082400084338227745633165392a^{2} - 569806536943721228557810685984a - 169086775179229853802462697728 )x^{15} + (34165217973970684630706558000a^{2} - 511594093459420894806150800544a - 431481972384706765395990176528 )x^{14} + (112987132580064576420515985616a^{2} + 22912460296552439412997504104a + 309992036756802786792977085160 )x^{13} + (221076362199547197324283021524a^{2} + 103657837249780062356856471120a + 203795310315071976078298441180 )x^{12} + (-172795749989214373454335699632a^{2} + 573423608226815918838998315776a + 73035450251584799543296636336 )x^{11} + (-561809926872380699359845343168a^{2} + 352479782185152547154515456584a + 410431187611234473400957863752 )x^{10} + (-92304602081491930634361644176a^{2} - 568377183059420760929170906200a - 390593998468151643378740668384 )x^{9} + (-625828490369561257330665907776a^{2} + 571682164015642856203343972608a + 480048345037182930775050806080 )x^{8} + (507397243348973284049960426096a^{2} - 391515324735725024499961474752a - 180198468723520418876400620224 )x^{7} + (68184151460104041039291680672a^{2} + 449475862058254643938777154128a + 572223842045744332868297960536 )x^{6} + (-191613733686917143577387011904a^{2} + 100262969491638622135418303600a - 87957663834453806177549391792 )x^{5} + (-421524219722494283990833677136a^{2} - 299970171511992544921329802864a - 276999241333808230530028556112 )x^{4} + (511655813304108951248773634608a^{2} + 13421138812577943683387075248a + 22550164538699104134910703312 )x^{3} + (-189039084978400735918070505688a^{2} - 93137103520673124584062166624a + 105844184789691705610573693160 )x^{2} + (449479087285803657525482234080a^{2} + 583988735560168784503818243680a + 278995308884730509996258478736 )x + 283334087849070385659870895592a^{2} + 469218536413304704367105354072a - 262835302361070308183926948868 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary