← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.90112_442368_499712.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((3601226387735320960817040818a^{2} - 117140142381209955568417556164a + 85654613917033371504299257668)\mu_3 + (137895946452974715304297004348a^{2} - 124080513612968669948157997211a - 111807934996759735105969068487))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 1)b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b + (3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + (3a^{2}\mu_3 - 3a^{2} - a + 2))c + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b + (a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a - 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + 4a^{2}b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - a + 2)b + 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - a + 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a)\cdot c + ((-a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3))b^{2} + ((3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - a + 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 1))b + (4a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - 2)\mu_3 - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 4))b^{2} + ((3a - 2)\mu_3 - a^{2} - 2a - 1)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a + 4))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + (2\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (-3a^{2}\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((3a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a - 1))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2))c + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((-a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4))b + (-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} - a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 3)b + (-3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (542488457517721306080841356768a^{2} - 629788233195458877145458078692a - 461169749995832441123770699476 )x^{47} + (624635773253567086800119705900a^{2} + 460427718415442576591510063224a + 41492891250968811065021100716 )x^{46} + (89130703697655768071760173964a^{2} + 397053675153652850737239178464a - 489678341609774899531165862668 )x^{45} + (390964488247410447102610156088a^{2} + 494732045231044158906343116052a + 392008588319578687242258576108 )x^{44} + (-428466912715555843363815731048a^{2} - 465435717524498868194042584216a - 107180003385204847325226180128 )x^{43} + (-451016804076773434765321919522a^{2} - 339962850665442090176495633184a + 489147817966161015106416113920 )x^{42} + (-535986795208484085809968938668a^{2} - 310608202674992674641534230540a + 40564220962651385360368417820 )x^{41} + (476959087257928413932865423244a^{2} + 286853753089100841287546009044a + 430722743238453500126336767180 )x^{40} + (255900351416468102678988369116a^{2} + 515894865019273813758328356492a - 346194246895812784573971736456 )x^{39} + (-228597397755328554927953507528a^{2} + 151495909397472523750326279984a + 615163890700795634157744889800 )x^{38} + (262701826990098750872300576488a^{2} + 139055947482356656024723841308a + 101133066568005257750401119108 )x^{37} + (-263157070219032447705609850640a^{2} + 424909404195978278127794516996a + 526326644097208507315696000668 )x^{36} + (331591596708792440267128850536a^{2} - 39147417025653916562858964608a + 534457412998407973387647689384 )x^{35} + (-9914654250109316240974041080a^{2} - 289355488434912327159778456236a + 358597353065087901424011092324 )x^{34} + (-92574011295304255496284709088a^{2} - 490921823097714562816294540260a - 280860563556532704064716598256 )x^{33} + (-298945849862122696661391043940a^{2} - 442213132896070428226220130880a + 173003912609627517402894304136 )x^{32} + (-331730788786447002164715553824a^{2} - 56518113846522527339068285248a - 301881241796896712577099956752 )x^{31} + (-408404564189785948453414197712a^{2} + 255036580921791652388690024560a + 206543943934483626169130473556 )x^{30} + (-350143292358534289639931201040a^{2} + 413636618554665022455019648992a + 289617044870435700309161777744 )x^{29} + (285287558317751979170958720616a^{2} - 190215418894232098181183388144a - 188350523508826892960758953096 )x^{28} + (478587451669060182265098624240a^{2} - 326393853544972567945867035384a + 42130177395087704761524072168 )x^{27} + (-84466905609424530265091345636a^{2} - 52385814334123089461887497248a - 482237461510573438166432259884 )x^{26} + (-518707275939257345736471003880a^{2} - 325189625638225298345717314720a - 78429230169260604048263394360 )x^{25} + (344554209911432342591913288884a^{2} - 55695791314815181304228395244a + 24154853015112945771400843920 )x^{24} + (-530431340766505799571093851792a^{2} + 183487597239959790354861937504a + 581604901709025012958325047192 )x^{23} + (630452796676283862695906933904a^{2} - 267827842312576869905175661272a + 194623219430509595581551308376 )x^{22} + (-397792065513134434248915026136a^{2} - 392460124629700210728197375664a - 113265396384317872188428494768 )x^{21} + (121390641380149033087877164352a^{2} - 111207655099247118744349469104a + 431608607363260094528133328808 )x^{20} + (362630756232057363839083698856a^{2} - 234443813508003874172451995680a + 292564126130089070229094623560 )x^{19} + (148009682607159434559154138268a^{2} + 140947784957380207595874287592a - 327325791004064497747341241360 )x^{18} + (234659688234924487407801424392a^{2} + 530982772753579439806416285896a - 594194365721341663721186224248 )x^{17} + (324931027530323662762543044728a^{2} - 424159581205051297063194300792a - 158827104036521082533652274536 )x^{16} + (616159178637512459772120874256a^{2} - 164102321738106354187367007136a + 469554786467046147221592663040 )x^{15} + (-161387743963994078251992264208a^{2} + 518487373113971362998557262400a + 499788298335041206041931696496 )x^{14} + (540000479736845898765046552560a^{2} + 236444155826521652358133355816a + 627839680020751257917879346408 )x^{13} + (-217850029284189250510701968140a^{2} - 260612215213509460736164991936a + 370541013717645796818566808636 )x^{12} + (-253754377673625359986104119056a^{2} - 49065143378766492715635998880a + 205964485981177582856984800784 )x^{11} + (270854240743904545226433935952a^{2} + 307742578714474074926567456104a - 573578569040258018055701297192 )x^{10} + (-350041773581284636092681361808a^{2} - 306997622417849202455785334072a - 464543125144677295280599354752 )x^{9} + (74522918185403853938786595648a^{2} + 142027367831055764574150958208a + 490364017591403815429546545120 )x^{8} + (-84237630038159085568120857040a^{2} - 355322904529013119254383816640a + 301293608422829814246819212864 )x^{7} + (-142147081347255962455677864912a^{2} + 54527559304195084723547609024a + 18113728214991003978972819832 )x^{6} + (-22100897216746635848014685632a^{2} + 368428847697924032689062160656a + 386061794280213491330729165040 )x^{5} + (416824644506152078610746164176a^{2} + 52945713723494895851613936a + 451620399619407784526080643824 )x^{4} + (-250503180909074315314729182768a^{2} + 147918629903042890084186246064a + 245723796011022253288569854160 )x^{3} + (307840799530048652464955632616a^{2} - 260462869458769575287083332592a + 140980028771911967833781272600 )x^{2} + (571525396999763453745245939328a^{2} + 410263012067403155626873685632a + 542772830984844663540868538032 )x + 285688052609328850196294033896a^{2} + 253533729298975396751199259512a - 371277890848351043980297371140 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary