← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.90112_442368_499712.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((3601226387735320960817040818a^{2} - 117140142381209955568417556164a + 85654613917033371504299257668)\mu_3 + (137895946452974715304297004348a^{2} - 124080513612968669948157997211a - 111807934996759735105969068487))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 1)b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b + (3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + (3a^{2}\mu_3 - 3a^{2} - a + 2))c + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b + (a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a - 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + 4a^{2}b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - a + 2)b + 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - a + 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a)\cdot c + ((-a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3))b^{2} + ((3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - a + 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 1))b + (4a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - 2)\mu_3 - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 4))b^{2} + ((3a - 2)\mu_3 - a^{2} - 2a - 1)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a + 4))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + (2\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (-3a^{2}\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((3a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a - 1))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2))c + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((-a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4))b + (-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} - a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 3)b + (-3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (542488457517721306080841356768a^{2} - 629788233195458877145458078692a - 461169749995832441123770699476 )x^{47} + (-236620283190229017762516652300a^{2} - 110207730794609431539526847432a + 518843192454579021219086350380 )x^{46} + (-438351815109344788428322100964a^{2} - 270915368564313843297557616352a - 502121560389810763283499018172 )x^{45} + (-78027352898206683727167868600a^{2} + 533957778486712691825096710660a - 83831078349903575782403619156 )x^{44} + (419021768534819985889355879256a^{2} + 215972351758578998529044953544a - 563499948515194184262671166896 )x^{43} + (430644497828131809086451209654a^{2} + 380677829351846002838038977660a - 121371020795068541380802012244 )x^{42} + (317037529053431591894213961516a^{2} - 425236697554236038537356527972a - 169872470683186396301322899004 )x^{41} + (-9919261195185848726594357140a^{2} + 90462651528139418525773957092a - 94842647173942480332061696132 )x^{40} + (191164142725245888422437929484a^{2} + 65651971457227993204934124332a - 437784476600062651624105630184 )x^{39} + (617810865101575171069824499080a^{2} - 19413401461752554782655341376a - 485663768503449739657237042376 )x^{38} + (527743292236285434372166269664a^{2} + 74190507682655629873393435060a + 616535334364330731833398022388 )x^{37} + (-108327839411848193787788130640a^{2} + 592615695077539595211814019684a + 215971598708180268330069239828 )x^{36} + (-191588844158707663429217086024a^{2} + 481107533776728022487889298560a - 3740486404849024458363933448 )x^{35} + (-65505675459268309841595580080a^{2} - 332279213447645132823836271772a + 141747508282602863301441329212 )x^{34} + (619141767271003348923795362280a^{2} + 541576247650789214685547682124a - 199519820361974979799375320480 )x^{33} + (241900432528942957736471325820a^{2} + 582025532448058623604783104576a - 612854200524830564526217081160 )x^{32} + (220904789110410264578798609312a^{2} - 544924029570137492225863325888a + 421898908849843835290286256112 )x^{31} + (-597504317115071434907201324320a^{2} + 234456515024818621710990573136a + 62745190314934939340917476356 )x^{30} + (505446710189239004584082004048a^{2} - 184746982915099279456166846496a - 547225043622439123854560827056 )x^{29} + (171622920923841725183685687240a^{2} + 443550013532122848386484582320a + 556279643506428995202127392424 )x^{28} + (-185457991452896132675349588928a^{2} + 579128764283037116560426338664a + 216001723015350782645196954824 )x^{27} + (-380246566575882094218789443108a^{2} - 319390542199479033572085954272a + 24457585472782873421062828948 )x^{26} + (-429900033655015205091557068056a^{2} + 444415971335576669123294011728a - 445575399086484264323509957480 )x^{25} + (438816121041639263506362505028a^{2} - 516938100084060916377318321588a - 132429207263535875210241389376 )x^{24} + (-351116873446628528211645554992a^{2} + 540683009477451050640132072992a + 256222633504527472890166957464 )x^{23} + (-273375405428115977765583574368a^{2} + 351793076550015272019986161224a - 103218908422437552539604838872 )x^{22} + (-538005317990284133646717327288a^{2} - 177397146422997829616210676576a - 11776037741247906475987887296 )x^{21} + (-489883095852903562616950512816a^{2} + 400891340104295111815732876912a + 411408592528292007821974304888 )x^{20} + (-513862099718084139106655733752a^{2} - 191999600694108894176788768480a + 433561528491172750927298678504 )x^{19} + (-177856316014562445155066685668a^{2} + 526348669000622488283259704600a + 10083209770790040391430961600 )x^{18} + (248184936204918111201710053416a^{2} + 441621595529510842372457995224a - 628012790662336337577478892312 )x^{17} + (-184958556014919243431547735912a^{2} + 531731966460917838707959221864a - 212986154928177371436070908344 )x^{16} + (-112111962265259075061396334960a^{2} - 507048291585246423215414850336a - 502307183385675082537623276480 )x^{15} + (-360392504643327636113824118512a^{2} + 271525818079968433664146518080a + 389980155380361886340396097232 )x^{14} + (-309833242858303771739041393520a^{2} - 613043322864947263812724037208a + 618564039453092100308239744136 )x^{13} + (-358904745360197365818302368732a^{2} + 373656791362769937638027667984a + 172279977162981143400627999084 )x^{12} + (-96176126140353167838401953616a^{2} - 104284117486366682224983248768a + 523449214466806079184997689232 )x^{11} + (234406045656474463268169716080a^{2} + 33110040831168481314722031672a + 146844169427219570366992316808 )x^{10} + (420672211545242155019632814000a^{2} + 569837045643116196072505333992a + 533253406305799569364607416064 )x^{9} + (-322719058954460958983410526560a^{2} + 484387056022977635349723006176a + 587641669385792448883048434240 )x^{8} + (-521058382412638558773960588240a^{2} - 524556048454614686345047355840a - 539473646225438407265721138752 )x^{7} + (25282772284287767074056148656a^{2} + 403173905043377360952078024336a + 434073194203404074544690270712 )x^{6} + (-210615239811129194154810044800a^{2} + 181363859633908413536548178000a - 316884123007682186397558132016 )x^{5} + (334610562821332353040454460400a^{2} - 135985897100576980298828915408a - 258975853512755744580783772848 )x^{4} + (-187271737705605864901559339152a^{2} - 475581744537840690054274739472a - 569251951076980748824121881296 )x^{3} + (-271310703155287421430985532248a^{2} + 72243777064178876526396345968a + 415332417429635400501143816584 )x^{2} + (-359429845341245609085163507104a^{2} - 158797818133383850142013974784a + 118513864048952828838075092688 )x - 418332540247915831442411364728a^{2} - 435682291683562753138482883096a + 6281354851274434652101189196 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary