← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.81920_270336_352256.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-108206708609024414145152027668a^{2} + 61876561222872679501461240832a + 97927192533242306346488186392)\mu_3 - 72418158842366714842018722698a^{2} - 103838377683031915502795146237a - 11243392534239829618755447522)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (3a - 1))b + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 2)))c + ((-3a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2))c + ((-2a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4)b + (2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + 4a)\cdot c + ((-2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 1))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 2)\mu_3 - 2a - 1)b + ((a^{2} - a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2)))c + ((4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((4a + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2)b + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a - 3))b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 2)))c + ((-a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((4a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 3a))\cdot b + (2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1)b + (-a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4))b^{2} + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((4a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (-2a^{2} - a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b^{2} + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b + (2a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 3))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2))c + ((-a^{2} - a - 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a - 2))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 2)b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4)b + (3a^{2} + 4)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 3))b^{2} + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b - 2a\cdot \mu_3 + 2a + 2)c + ((2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a - 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a + 3)))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (2a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-14705014371765072160444480656a^{2} + 127162351232997585100607769836a - 632982924854559770874724224648 )x^{47} + (310152423308873236631286678204a^{2} - 269611806962322810843487180840a + 353585713320285416218123959312 )x^{46} + (-362545893715442118456203034152a^{2} + 551259961430883843195029719720a + 370634304694919784805269840156 )x^{45} + (-20951585503734398250155884672a^{2} + 427226518085849185340426244540a - 580539011710813531651441276280 )x^{44} + (420336912417469830510171148312a^{2} - 420419854569006399191308865264a + 150704945222932761661998125112 )x^{43} + (-604478663037932109499595085100a^{2} - 215722220297510825054653464598a - 110040315717760426293995852698 )x^{42} + (556650640523370738445705723996a^{2} + 540506042309840267755876058268a + 281198710717432714392937876176 )x^{41} + (593005869176724055832471277720a^{2} + 211157895415549183930827185732a - 104375725254588336773702222012 )x^{40} + (366030025852766736956884838260a^{2} + 87012813656956509472076040592a + 610225066537843262256723799100 )x^{39} + (41061068822282976864325012344a^{2} + 576443517612442717804497217824a - 285702820196820219403530148768 )x^{38} + (79324717125000873299849827056a^{2} - 308421610377061697176821359044a + 292901673146883650974301161240 )x^{37} + (-418508199139894789672491977224a^{2} - 429755280404094528242720634920a - 383619585515152862142228346108 )x^{36} + (60260283293862010878759592704a^{2} + 289672059811631799166875556880a - 172577981203248091209978341016 )x^{35} + (-259172093132299766156887149696a^{2} - 68341103423734929730111191772a - 182090061889261522299662904752 )x^{34} + (-163731164556765044817513588492a^{2} - 326558878877893621594755839932a - 207263787947712381094100719948 )x^{33} + (118616610094243882693374935016a^{2} - 356284155935040079913140878348a + 160745946528683231136365261932 )x^{32} + (-413297215169199006045433537952a^{2} + 543375228616385531057555440496a + 502664124595164822084825541408 )x^{31} + (-339039150372703137919655138508a^{2} - 594943859881334675769465144112a + 474820835738150604436409454164 )x^{30} + (262522212927995980690385959400a^{2} + 341912048214931287813471825760a - 550569839774262938536977819872 )x^{29} + (-526900307537203761546338640528a^{2} - 535168841603526222254225203848a + 530430819951910686618950727344 )x^{28} + (-360066735934850799618433487464a^{2} + 584870311572386268693656194880a + 467531039428566293017557182768 )x^{27} + (-218132256787900572682087700668a^{2} + 102677731202596090144929032840a + 86002183440836650031364352656 )x^{26} + (-550897493253308916792198629568a^{2} + 59339699600489031108707467992a - 484007492162231888761894083936 )x^{25} + (-435695602938409997901636037124a^{2} - 191904361463494071935189304276a + 196997718292360590873388380236 )x^{24} + (-496822756570014269827132092152a^{2} + 618403462682075895959480997296a + 155897690988868695234922551944 )x^{23} + (972122456782176009561078528a^{2} - 80279295153052185646172670672a + 468924305001851638334846188824 )x^{22} + (468789814821270428638903932208a^{2} + 132067883685771786278128019568a + 406846006371160835815931929616 )x^{21} + (-87604707136289478285854308840a^{2} + 349201925327193343378758997568a - 315926486175971341055387255016 )x^{20} + (574399454483346691315390972088a^{2} - 69538384139046094798863397888a + 409019804479067078774170325296 )x^{19} + (314775042455656965708632377736a^{2} + 74893209464097755941859586876a + 282350452560127078893923314748 )x^{18} + (625677966785160045476397717272a^{2} + 285913947107240429265608169480a - 45786248021139042202042403904 )x^{17} + (-308589013612780639429694419424a^{2} - 66790431860671565970040518056a + 120041181183479563573602454120 )x^{16} + (-488923660159753137954783720160a^{2} - 213272326698193362958404618352a + 483783732125358514192591169616 )x^{15} + (-47566050641591975511573882832a^{2} - 486608211498041519500624851680a - 499317380665634919359420427376 )x^{14} + (136352761559870213291369646400a^{2} - 543620193204993351869396481240a - 136485830206284466989201427872 )x^{13} + (-61735023966612731064714818380a^{2} - 343380965156489043546480953104a - 315764299267399635156772166280 )x^{12} + (544893016540815282084854806336a^{2} + 400258254059292300960627441616a - 71435942099408201651309345536 )x^{11} + (-132562888044927708644203946704a^{2} - 78231150939416802095939207288a + 327789555006004496491968906720 )x^{10} + (-26863247229012816539942489096a^{2} - 81662092123363817672963788968a - 246293177060393686700210394760 )x^{9} + (153543445734705910193688490960a^{2} - 355514082830493888773203221760a + 427282741555885087487661920432 )x^{8} + (-427329066593190692783908063152a^{2} - 361514908877708697030839844320a + 292367963118088206700298086336 )x^{7} + (371838176388605150797829241496a^{2} + 223103630735380653096617094624a + 136085901681189242521507523624 )x^{6} + (204092025384980528564743580784a^{2} + 444886486972140261439004687744a - 2975026564990837185928543472 )x^{5} + (-622869126287013996128249226800a^{2} + 217236384473295794952580604656a - 113458744453382538866396031104 )x^{4} + (199412790991389464484245350736a^{2} + 176280393754414813806689653392a - 432572849670745883996669876576 )x^{3} + (-101608115468793918142777952024a^{2} - 368825085906341230285612896016a + 181305285100559221757323624144 )x^{2} + (335493593254054773101357884000a^{2} + 53186744166147970552267354080a - 159292859544575047272542292112 )x + 19148830607953633966956460360a^{2} + 148682692215438353269269236408a - 622720796184762940797445267372 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary