← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.81920_270336_352256.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-108206708609024414145152027668a^{2} + 61876561222872679501461240832a + 97927192533242306346488186392)\mu_3 - 72418158842366714842018722698a^{2} - 103838377683031915502795146237a - 11243392534239829618755447522)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (3a - 1))b + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 2)))c + ((-3a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2))c + ((-2a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4)b + (2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + 4a)\cdot c + ((-2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 1))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 2)\mu_3 - 2a - 1)b + ((a^{2} - a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2)))c + ((4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((4a + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2)b + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a - 3))b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 2)))c + ((-a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((4a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 3a))\cdot b + (2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1)b + (-a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4))b^{2} + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((4a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (-2a^{2} - a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b^{2} + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b + (2a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 3))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2))c + ((-a^{2} - a - 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a - 2))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 2)b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4)b + (3a^{2} + 4)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 3))b^{2} + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b - 2a\cdot \mu_3 + 2a + 2)c + ((2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a - 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a + 3)))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (2a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-14705014371765072160444480656a^{2} + 127162351232997585100607769836a - 632982924854559770874724224648 )x^{47} + (499095141434476849926835164412a^{2} - 553468034601088858516931911312a + 351086819566615834846667079600 )x^{46} + (425121047303219308407862504264a^{2} - 364689409702393866016941021032a + 523875538802438257367342382868 )x^{45} + (-99965413314857201481766288208a^{2} + 363776893997810778976926135452a + 466169187580026076788351750440 )x^{44} + (597240652055321449284994989256a^{2} + 147091973924140234654798249136a + 481731792743961166799346087448 )x^{43} + (75400944576046790747641107828a^{2} - 545296020604391162664069150782a + 625126388904669223867262950298 )x^{42} + (484551672462524286811147085412a^{2} + 435437033151398994045206401020a + 540248846720278889727976786880 )x^{41} + (-571151037071334441992177555560a^{2} - 33994789643592816429079815132a - 455137421441478771612099216476 )x^{40} + (345461334332263001799773672180a^{2} + 380000115780185172756306126240a + 14000093765882595279706660348 )x^{39} + (-558869807110704602722978301336a^{2} - 584772729872998255736922424640a + 494353758805270594811599831280 )x^{38} + (184940154211667481787589934968a^{2} + 308229647622575905998798909972a - 237209068579790669660106201376 )x^{37} + (-47365093353817972075558842976a^{2} - 260187447070039045867691631896a + 242444935293446293825266249884 )x^{36} + (531890921867250534095792574112a^{2} - 617007008092312163693232501968a - 436834342021647334862364413736 )x^{35} + (31201760826917183031276393248a^{2} - 609275339653058675163443024948a - 151317885916700354775115556256 )x^{34} + (593892744641364609714717574972a^{2} - 249777853295640701495005488924a - 152262216268685187647917954188 )x^{33} + (247304713719245311543092043464a^{2} - 167438137490869856271797767116a + 212986795585669792025353971484 )x^{32} + (105922432280110819895153130496a^{2} + 451053515584905706557954162672a + 589508510817573650373322253376 )x^{31} + (-603213002224160303513135219052a^{2} - 145230417850364053535761339280a - 421287777586299421002898750268 )x^{30} + (401589040906486555507781048328a^{2} + 325255288723039534961354125152a - 304591552632087910307533616832 )x^{29} + (477075010349857066107975040144a^{2} + 14913596606257726953129988488a - 152736307192389043386252567408 )x^{28} + (-90894437680447051323886078424a^{2} + 80246864480696825190394611232a - 312637594465126451515322696416 )x^{27} + (-302682072183527872764232849516a^{2} + 508150924969567560242586889800a + 122412183586224568729550332704 )x^{26} + (482443607123829007862658492336a^{2} + 438725581716797755007477494760a - 122175344751940409764538088080 )x^{25} + (-344517953011205081660846634348a^{2} + 111211638443908287069510543684a - 321353717891565924401805751508 )x^{24} + (288622974962964800611579964200a^{2} - 625874260502172943620334943568a - 590162523670591559351865891832 )x^{23} + (341393303179128276469887367824a^{2} - 573515952661212439577727138048a - 420524295947489034787513465496 )x^{22} + (-731928542484297624247926544a^{2} + 334067235306711761657159006384a + 283467884176056411168619491328 )x^{21} + (-564291917211431033530923805624a^{2} + 335790110014613301347618704720a - 530697560758426358819726888856 )x^{20} + (-182111688048010587455617139912a^{2} - 295937079080708741127221038656a - 108601811869634890344834392080 )x^{19} + (-166437363443513751822245394856a^{2} - 616700144204747968024234564372a + 489046637443514057513738696940 )x^{18} + (-599294387514871719762932616952a^{2} - 506814261637313084140217954536a + 377027275808919410823237875968 )x^{17} + (568226613460471122424261014576a^{2} + 290789344499141515646023056152a - 12493148931727535148398748936 )x^{16} + (-539004000356314914785788029792a^{2} + 80269861512773770860787241360a + 508639090130685610397082790736 )x^{15} + (608395739306838745430981741520a^{2} + 141816131736121511937603506112a - 524894263592183726468592070128 )x^{14} + (163879288267027313700416041568a^{2} + 190096218015297709149156054696a + 52117806485225401867403172352 )x^{13} + (-378234583010102842017674141996a^{2} + 592961722360797618694710454112a - 320600537010951077036688410776 )x^{12} + (-263805199593217682189123550208a^{2} - 266732321461312622396365723760a + 232690595377591107744864266880 )x^{11} + (380449318478140093013358159424a^{2} - 554113266748541683245354932888a + 331701223377144646111442337648 )x^{10} + (160255548605073620250547656760a^{2} - 80311690274849728710780900904a + 78050430827906073023882547032 )x^{9} + (-187021243989951318555924775568a^{2} - 464616228587966318270733580416a + 46377676137087044617989271824 )x^{8} + (-407388019991904840067491898928a^{2} + 39535610153840698706851254176a - 354910532182034130905025512000 )x^{7} + (-402347673163735282130363972904a^{2} + 269916943852188189653198562992a + 189525373048719728232789630328 )x^{6} + (-114038838097469088594251019600a^{2} - 621310952672605644734198959040a - 182105845099975622239038948848 )x^{5} + (399295977276235008203114617072a^{2} + 315801534525002978354827463120a + 41046833201562658821504875616 )x^{4} + (429621438589789939130383160592a^{2} - 34303473217814321358602349328a + 120803379097185670025597234656 )x^{3} + (573104748658790856021744984120a^{2} - 211590678987292471049252220848a + 7266833458801561043042455904 )x^{2} + (-154633243744152438941889497888a^{2} - 416145846044944722072096923552a - 59922636093611328894189941488 )x - 589243982119783048361568849320a^{2} - 217109797313920921223935037176a - 366264650545697119886220297740 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary