ex.24.6.1.81920_270336_352256.c

Base Field

\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗

Description

exceptional, SL(2,3)

Construction

Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below

Semistability defect

\( e = 24\)

Conductor exponent

\( v(N) = 6\)

Character Order

4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-108206708609024414145152027668a^{2} + 61876561222872679501461240832a + 97927192533242306346488186392)\mu_3 - 72418158842366714842018722698a^{2} - 103838377683031915502795146237a - 11243392534239829618755447522)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order

4

Conductor exponent

12

Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :

\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (3a - 1))b + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 2)))c + ((-3a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2))c + ((-2a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4)b + (2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + 4a)\cdot c + ((-2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 1))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 2)\mu_3 - 2a - 1)b + ((a^{2} - a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2)))c + ((4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((4a + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2)b + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a - 3))b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 2)))c + ((-a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((4a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 3a))\cdot b + (2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1)b + (-a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4))b^{2} + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((4a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (-2a^{2} - a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b^{2} + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b + (2a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 3))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2))c + ((-a^{2} - a - 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a - 2))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 2)b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4)b + (3a^{2} + 4)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 3))b^{2} + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b - 2a\cdot \mu_3 + 2a + 2)c + ((2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a - 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a + 3)))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (2a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).

\( x^{48} + (-14705014371765072160444480656a^{2} + 127162351232997585100607769836a - 632982924854559770874724224648 )x^{47} + (130565025192508386909098036068a^{2} - 332729304409330539568327060800a - 382195493045771296430136690832 )x^{46} + (-431444144086010436596483410184a^{2} - 292770524379254635127096467856a - 487941332218422522930642498508 )x^{45} + (-330579476150567321396217631680a^{2} + 165461736315263934195385059436a - 292913330674101626217523630136 )x^{44} + (345974440273397314610452629432a^{2} + 617788416786861512825411883920a + 618820049141066225849789629592 )x^{43} + (342984132463436024957851914868a^{2} + 174893098084381210474201317150a - 8926904079946428426357960942 )x^{42} + (165395924449588151508816810772a^{2} + 506310106543683626129221231316a + 307464848280426174536740479976 )x^{41} + (4966844722506811637057912328a^{2} + 111457920992869967004448390340a + 289833397269697209777738333748 )x^{40} + (285941299132595315259315372452a^{2} + 237325194164555098320649596384a - 309695879813698185143691802852 )x^{39} + (238859324336908361615431852792a^{2} + 297038165731068708753121032976a + 309330072163265114691366574512 )x^{38} + (631613981749091769302210368016a^{2} + 561535391151396791183174661092a - 368167013782891413984268213320 )x^{37} + (-140437444851567153231987964768a^{2} + 21247414695251946727278159224a - 401400004535651030276333408444 )x^{36} + (569023158403085955079601000080a^{2} + 145417449515542168932130683440a - 572218410770450809074664881992 )x^{35} + (2945216734214359609533015128a^{2} + 302684853408374942004586310780a + 285655355928095331790500943264 )x^{34} + (265432221630601325790759631788a^{2} + 396836452940239181234015741868a + 543096705182495164001220938460 )x^{33} + (-302007875683463912697358965096a^{2} - 243934903065213087403137024716a + 264161336861895721928628400124 )x^{32} + (318867448835177707231565180960a^{2} + 247319073568246030116563748624a + 516282735958557977109898959680 )x^{31} + (380741265073541410086983085876a^{2} + 309776330088662698442401834112a - 611511896704256591978326060604 )x^{30} + (-27628939605278678680511362296a^{2} - 205927771877992437509490246752a + 405526748481585835500669815616 )x^{29} + (-8955401433799786689095547360a^{2} + 398688497460894061479976605624a + 259353097278733162470288831760 )x^{28} + (-366625674981606548123044012584a^{2} + 603209135385282728414281895328a + 2235574904520811924620297936 )x^{27} + (-150964270624872418012754861772a^{2} + 633733841705681167580068854984a + 422096484011848376473933584800 )x^{26} + (-508150520167245745850957000432a^{2} + 602202294189694422205877426040a - 570689633671702344628911709632 )x^{25} + (239498027454362164758703577324a^{2} - 122241821595267667676925471524a + 269679006839415767706292088820 )x^{24} + (356877829531061186524949828712a^{2} + 446855733210533729079813785936a - 624932330037701722298973415192 )x^{23} + (601080200304774338527138411488a^{2} - 625650895753553286265920562912a + 519300339848548229349316511448 )x^{22} + (-62994653768970101311742396080a^{2} - 7182009593643201947085650560a - 412596731331016751910377175552 )x^{21} + (-632939963632124860605194204600a^{2} - 409021255144364866626390633968a + 446116989297958300162935436296 )x^{20} + (519290114313626612255801198776a^{2} + 82745631688771275331051721600a + 501712657487860751129403094416 )x^{19} + (581886290150791753307429974776a^{2} + 470856053820206332692888544876a - 601473021661595672540079009956 )x^{18} + (-58254254469871547905609565608a^{2} - 333539832315957785070940369720a + 540085019608761000588581217296 )x^{17} + (-598717883718058838907519315024a^{2} - 456072414874489215227972370664a - 46988821286086820364628550552 )x^{16} + (-506783399195553679343320838688a^{2} - 310970101375890285919873376176a - 397164131046520258713601986736 )x^{15} + (-528402047182565014129751399920a^{2} - 138879960670056140724577026976a - 191816762235558886284589938576 )x^{14} + (-474327077252088497998633629920a^{2} + 155045436915723511868624732840a + 220262047478845335936420248480 )x^{13} + (-143729325192719886202416774492a^{2} + 248538187892967014973589982544a + 233103840863008550765213240520 )x^{12} + (453718369170663665502147868640a^{2} - 14489288790094570452965732720a - 100198869807600406869780617216 )x^{11} + (-458055171948428187350988953120a^{2} + 463239941696992059211371189768a - 326981013998963720142075548256 )x^{10} + (-223908679657574026541650582664a^{2} - 352274319995657024160752991976a + 35862348298538072939510457208 )x^{9} + (-443199046121655674912954827632a^{2} + 405415950910896360629376174880a + 15506676751119828629097892272 )x^{8} + (242108064385214740578410126480a^{2} - 508746409802991787890543504736a - 573600448310488814568947410560 )x^{7} + (-114130216473976441246125679864a^{2} - 21235695229093694212404937632a + 86430296419892331951292289464 )x^{6} + (-629130641433907688792329315024a^{2} - 421535408077693017166806736320a - 231283630151868904445723063536 )x^{5} + (387892673520985584573417725456a^{2} - 438602460098008356094982545680a + 61731852803509949712774179840 )x^{4} + (-290907273937212966975533573456a^{2} - 530797577112615852380504085328a + 232288434272182066518326614048 )x^{3} + (189890723311835166874381581432a^{2} - 293855019571801037348245824688a - 245279227147688345738495411728 )x^{2} + (357794617522668257298879552576a^{2} - 400414319600822009739766449696a + 6929209622239358703283568912 )x + 503464451542762953155563005336a^{2} - 346064775483395502741586927224a - 380859889818147249063986537228 \)