← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.81920_270336_352256.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-108206708609024414145152027668a^{2} + 61876561222872679501461240832a + 97927192533242306346488186392)\mu_3 - 72418158842366714842018722698a^{2} - 103838377683031915502795146237a - 11243392534239829618755447522)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (3a - 1))b + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 2)))c + ((-3a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2))c + ((-2a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4)b + (2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + 4a)\cdot c + ((-2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 1))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 2)\mu_3 - 2a - 1)b + ((a^{2} - a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2)))c + ((4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((4a + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2)b + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a - 3))b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 2)))c + ((-a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((4a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 3a))\cdot b + (2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1)b + (-a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4))b^{2} + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((4a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (-2a^{2} - a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b^{2} + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b + (2a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 3))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2))c + ((-a^{2} - a - 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a - 2))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 2)b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4)b + (3a^{2} + 4)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 3))b^{2} + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b - 2a\cdot \mu_3 + 2a + 2)c + ((2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a - 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a + 3)))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (2a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-14705014371765072160444480656a^{2} + 127162351232997585100607769836a - 632982924854559770874724224648 )x^{47} + (383549095352632876498817986964a^{2} + 592416143250356421090371590408a - 283738974421845882965745439288 )x^{46} + (-327357170413876758547323602832a^{2} + 240531004921645825048398549728a - 421121479432114789635990626188 )x^{45} + (-47219582907830861397020683536a^{2} + 526927774099302803262530720364a + 174916641433436605477913655768 )x^{44} + (-591060319864331168277873215368a^{2} - 158780380313045957423675330688a + 517026655732239512664532224056 )x^{43} + (-619478757344759879519218027960a^{2} - 13201657205585416558211028674a + 603866362197773205451452596490 )x^{42} + (-44119303340528956950149261604a^{2} - 33889278998795425485376579988a + 173730530952199734473938530680 )x^{41} + (-3729378148839195787933075416a^{2} + 45738466853160681385502993268a - 324417972428527098830373834076 )x^{40} + (-623099489407204091714425724220a^{2} - 461059221851803963210134030256a - 225617687597405869012361601780 )x^{39} + (333872176713892690978148853800a^{2} + 559471178311348448136308464384a - 601059748160931186593354417456 )x^{38} + (50341660031584030602001695120a^{2} - 289266598259704428717059479020a - 18958272879988804721897709008 )x^{37} + (502099194996682659701029094192a^{2} - 326402693039849790666884931216a + 628286306464895155876355187684 )x^{36} + (-340690965673969189972780953920a^{2} - 123623675407524439376969885984a - 380223651894396386613465227304 )x^{35} + (96938938391935005910763162024a^{2} - 50210892662602511545251873820a + 116124610183538725334278367128 )x^{34} + (301605562701663750836736338116a^{2} + 77156488275374878742851371876a + 511408518554671850055907220812 )x^{33} + (-23144249417344716138926106936a^{2} + 503757683375432451687266291940a - 565405328806873415490959962052 )x^{32} + (98096863689958716108100348736a^{2} - 214745924394503761194400923152a + 141927082316002648784110982592 )x^{31} + (-364291664408768812542694037340a^{2} - 593804581841297002760922098816a - 491358718493378508223655540924 )x^{30} + (-456436930057980255497012759768a^{2} + 198921133986471589234172729568a - 569253040564739000604119805248 )x^{29} + (-10980939139380125403278099632a^{2} - 591608493720417433772636838408a + 466146931211102404709821678896 )x^{28} + (601912641819563341039321645224a^{2} - 120459076403693547723548293744a + 412554898857039675006939703264 )x^{27} + (126370851378913602014658599780a^{2} + 141672815675704895450293565288a - 348864199234067538732212905024 )x^{26} + (-599297960146153285455805614640a^{2} - 593539887494992922479703871576a - 355756097869973432502515881808 )x^{25} + (520076106790970615768366695396a^{2} + 498427515991983438955892526956a + 487922820399413475705025961452 )x^{24} + (201238076194750204665347888328a^{2} - 508060636189013949267988482320a - 130966316611667380932811568088 )x^{23} + (-567656067026327901679570912224a^{2} + 171216641249379993634889744032a - 291783946889613288523300222488 )x^{22} + (141857919706292407634672779808a^{2} - 196364059747736572350873180160a - 77375957378552829825379000704 )x^{21} + (577599625389344246150897404648a^{2} + 596215795148331973235809723936a + 536915242585758608332681000584 )x^{20} + (474212842639220331387895515736a^{2} + 171167779707965425017204434400a + 527872131795278030573345934544 )x^{19} + (-359386818345180799944533689368a^{2} + 501958546540300220406385111052a - 351116714889198356736614226916 )x^{18} + (85661019251547212576411423752a^{2} - 317953221645258495359252548728a + 572048379787737282830478651744 )x^{17} + (-260593561262012540758033477392a^{2} - 125512457754740046574639790232a + 398045666148590475812415333512 )x^{16} + (-404082643770895797583257692448a^{2} - 572658024397141625150286031088a + 34664522411338088121124234960 )x^{15} + (-34003877966995281571081248048a^{2} + 234300688610474885026061227168a - 16575062820300475094194622096 )x^{14} + (-36985691688235924151188493408a^{2} + 275874824686693547610693358984a - 141484346091153308436056853984 )x^{13} + (-619662416039989502828422736140a^{2} - 258936437815545830546549169888a + 479363996992709521183869022584 )x^{12} + (620037830230254684719628649920a^{2} - 326975812838921670940664132528a + 158451864996887386370641661152 )x^{11} + (-590661286244728055254561347648a^{2} - 167244490775147612981898769704a - 379220705546094492133231254784 )x^{10} + (-300307027800804410335606005480a^{2} - 232885004471771278191290056872a + 399397617771439447746843688152 )x^{9} + (341392778686064825171441467856a^{2} - 360339027030819898216525153056a + 515567829360199880563184685424 )x^{8} + (-619240221893153594532715041520a^{2} + 350112966774001915128394786528a + 569295305136014507324476941376 )x^{7} + (-315671329039472650421754512488a^{2} + 370469374519476098110528277552a + 263962417201808570169790706760 )x^{6} + (131727442187198530452257773616a^{2} + 143788260949794828650954820416a - 149388698079360126623395202736 )x^{5} + (630137198756788429770815490672a^{2} + 316343804957877695396700570896a - 475084668845271089037033521536 )x^{4} + (-31766224461544376517009553424a^{2} + 248751809722646329412318012688a + 367185012071526768903956114176 )x^{3} + (-121131366207675126352835320712a^{2} + 578433719297176245484807698272a + 207224049024568211969665596304 )x^{2} + (-558219763835396010846529165856a^{2} - 476357497799785100099847519936a + 30263276039849657941325396304 )x - 69814308109942109828494463720a^{2} + 122184358811823768341692350120a + 195495001833336739832935135652 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary