← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.81920_270336_352256.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-108206708609024414145152027668a^{2} + 61876561222872679501461240832a + 97927192533242306346488186392)\mu_3 - 72418158842366714842018722698a^{2} - 103838377683031915502795146237a - 11243392534239829618755447522)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (3a - 1))b + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 2)))c + ((-3a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2))c + ((-2a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4)b + (2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + 4a)\cdot c + ((-2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 1))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 2)\mu_3 - 2a - 1)b + ((a^{2} - a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2)))c + ((4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((4a + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2)b + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a - 3))b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 2)))c + ((-a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((4a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 3a))\cdot b + (2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1)b + (-a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4))b^{2} + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((4a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (-2a^{2} - a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b^{2} + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b + (2a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 3))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2))c + ((-a^{2} - a - 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a - 2))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 2)b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4)b + (3a^{2} + 4)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 3))b^{2} + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b - 2a\cdot \mu_3 + 2a + 2)c + ((2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a - 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a + 3)))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (2a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-14705014371765072160444480656a^{2} + 127162351232997585100607769836a - 632982924854559770874724224648 )x^{47} + (-125675382910236227519100727428a^{2} - 340448559881596180677179310328a + 313694161137833208459185949208 )x^{46} + (-585901240010781579660628668496a^{2} + 376499400560874940273999288056a - 89272638902139323798647348524 )x^{45} + (606452886088146335698958190784a^{2} + 557725961146051100038212070844a + 228231218354459849713989972440 )x^{44} + (-281874866118036854424109399960a^{2} - 183098580076303164218579496416a - 235970856646912585463968860040 )x^{43} + (-415475146884059459666984366016a^{2} - 42183732491171921097659667558a + 58733597824151226566735880130 )x^{42} + (-435128439742476130526865961508a^{2} + 494209621707241586511703927892a - 604654685867846027561943671744 )x^{41} + (-510496178728035747502036183144a^{2} - 553863871315521802822983185996a - 526664918059589798249901999500 )x^{40} + (-202143748389052474446340046540a^{2} + 111318574369070771757054990576a - 502484455723112562967589798388 )x^{39} + (-587639687003092836863871574216a^{2} - 201758059196699001327060365776a - 365736980331095767112056777744 )x^{38} + (-190569541024359685155111206968a^{2} + 582892213623157545457256042628a + 475058552859197792965670317432 )x^{37} + (-396536774522494424499669699280a^{2} + 244847641422428810591279174384a + 572380888289365392556245638124 )x^{36} + (614079918437608889268920249808a^{2} + 89915513104176757971852113984a - 8149910042886791248965917800 )x^{35} + (591762151619007099447505148000a^{2} + 515338388888239082847390548708a + 553428938334031118541263504840 )x^{34} + (-236086388541895772980246219164a^{2} - 411484667374346110863056695460a + 603902657937108164280969395796 )x^{33} + (-545485243734909561677862545512a^{2} + 193622374791863706584094125668a - 448895509154115656213535795716 )x^{32} + (499353393824157738621840954400a^{2} - 344683535607074517844871434864a - 258949158981174183100468872896 )x^{31} + (-224500682241936768162004095772a^{2} + 224445640802409829700595794064a + 76383925306084719803794770820 )x^{30} + (85086233235455249898851848936a^{2} - 311831092047973670375811737888a + 512113745013996017710448784704 )x^{29} + (-563022835313579264380834834080a^{2} + 582411890771796264236064757960a + 278429240679345776275056045040 )x^{28} + (237563288904123422119691086616a^{2} + 45456893955197858341955710736a + 529527088555093812549708003280 )x^{27} + (-17266546425857132952435946908a^{2} + 113337724610124466509851148296a + 233742210650682143531359174048 )x^{26} + (-356340274190225029745478553392a^{2} + 433457330358127206738789096056a - 176592744548537125631263773504 )x^{25} + (-71278124786801915420918853588a^{2} + 88442963262105212765863988644a - 597325084749769378642497919260 )x^{24} + (315803477155586203283154108360a^{2} + 223001840371095365167860320848a + 293167367902599214969393330056 )x^{23} + (293884453242332839404671147376a^{2} - 559144241654015486817497650176a - 201006661839049798258325579208 )x^{22} + (-481876376199751091508988046752a^{2} + 116118176293982639043960427536a - 564754999184592412003061081536 )x^{21} + (-224716194814749109843453750136a^{2} + 574360940876422966677378203264a + 133581813727429286403102418152 )x^{20} + (-77508706991090708691658429544a^{2} - 458009359680396677749092256608a + 598566251061498306731143149616 )x^{19} + (355664676861090309419068435784a^{2} + 113168873157164694324771462188a + 361694759452514293911799198572 )x^{18} + (338944180960284971657224499960a^{2} + 469110773915329129662412311608a - 328906570681481331164838796784 )x^{17} + (-132320527817361118321545408208a^{2} + 40817536037388592300065833992a + 631652542981112475924477149560 )x^{16} + (146656007417188615010702216864a^{2} - 97298374312174469916297048752a - 129607667029662233722477017392 )x^{15} + (-553550864490398376250485011056a^{2} + 622165252499623163501838004992a - 495551879470894991285608988784 )x^{14} + (-554068387587348344159205549984a^{2} - 7423030176437573865709403576a + 300332182382691630433499076288 )x^{13} + (-164763838512774516954075945308a^{2} - 264472132560735713677600429904a + 335562833988630878237901606456 )x^{12} + (-478290238796147714493868296672a^{2} - 363327012457959241691245946992a - 331066812122382469663251587872 )x^{11} + (-369331976201553777552483412128a^{2} - 79959460822287092037817878632a - 330358921189943348591338405840 )x^{10} + (173363126861856459567411217048a^{2} + 549294615090468872001022365912a + 342389271930860847706320515192 )x^{9} + (408490838756364509396337026928a^{2} - 507838465336948128421899495936a - 359264154724188283946079205680 )x^{8} + (546209160361006711894809471312a^{2} - 43973811997192250402564936736a - 194918365759492681264344396288 )x^{7} + (380834453079919474408378777704a^{2} - 210232123253394959890185692864a + 280743309567602473259766965288 )x^{6} + (-589289799401978510740600012624a^{2} - 546479910316630999250065333440a + 505680567173023867832272705872 )x^{5} + (-485767502028731768278103208048a^{2} + 546964275464600115354458228144a - 536651524549057910418670489056 )x^{4} + (527968445814841579082691026576a^{2} + 321128316726735166425830237712a + 431285791051407037529828270848 )x^{3} + (-603514290034009882251982674504a^{2} - 112271298442653463372478679424a - 122288583262271352561007676384 )x^{2} + (132687874435329643695690829056a^{2} - 407663123014821410590187778816a - 519338796934185932894836322288 )x - 80817581229931315890223790696a^{2} + 396128529606346319761117240712a + 448523894809756545309855049476 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary