← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.73728_139264_196608.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((76721180144847830081033729172a^{2} + 16575599918690050081203935199a + 101266337377265699765411586621)\mu_3 - 150168525069183650146485933073a^{2} + 12272578616208934842188928724a - 38360590072423915040516864586)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(a\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 4)b + (4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - a - 3))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b + ((a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2))c + ((3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3))b + ((a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} + 1)))c + ((-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b + (-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (a^{2} - a - 1))b^{2} + ((-a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3))b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a\cdot \mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b + (-2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + (-a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2})b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 2)b - 2\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 4))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-a\cdot \mu_3 - a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a + 3))b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 3)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2))b + (-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a^{2} + a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a)\cdot b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((-a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 4))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (a - 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 3))b - 2a^{2}\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1)b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 3)))c + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (190498406678416837706782479720a^{2} - 420476269988781631124253220024a + 612327873392621757586293908608 )x^{47} + (154624882516498559273614846164a^{2} + 218629395527357183231082110690a + 484255629787117256658643850534 )x^{46} + (115403256925764796860103939640a^{2} - 51876222820315383267919342328a - 466004171616740482068924168772 )x^{45} + (216108082544850187817582894568a^{2} + 215611212557737560442543119384a + 219286040978824120997882240304 )x^{44} + (235530888791865143118540107792a^{2} + 218907215582152758449428985536a + 56542213131980958143337015632 )x^{43} + (153723978896662972592556883398a^{2} - 11484789890217710803845294082a + 6487982355508576231394680414 )x^{42} + (-613864069312575105995234306236a^{2} - 343919750156830922034753938536a + 579909190561425906974081472072 )x^{41} + (-201077169224510833255828398572a^{2} - 50260338047800660052122400900a + 425729500468852404504771209220 )x^{40} + (-264070358503976397874423612328a^{2} - 54694999623094258497723039460a - 417139415274015209925978246356 )x^{39} + (-88403910925261216798889180928a^{2} - 554311308718981092352111134472a + 456704746111565774958213403388 )x^{38} + (-235636624268677438258493374224a^{2} - 290619531870318941475648720624a - 188047471869970491847795175592 )x^{37} + (-472608832511703908641406104728a^{2} + 500974206592356430499615899672a - 136815757149036319142868471340 )x^{36} + (256206344109950914001152965436a^{2} + 396932881166375845117905498916a - 226468021533140840241532116540 )x^{35} + (615234083073722219099216750540a^{2} - 45692310336147821487283288540a + 474638563626006083879350594032 )x^{34} + (478138870821846021403851764772a^{2} - 411820042079430269271043469080a + 629315046377550638103301797148 )x^{33} + (33346191380407234622882531644a^{2} - 380380090883124935720812203796a + 175882252870559982830131183868 )x^{32} + (532328391795148691435745293768a^{2} + 136041029247956336028372833936a + 68219283153431242122956601552 )x^{31} + (513876731262564895866544920512a^{2} - 615304548663453588125127892012a + 244187729731120864245345352060 )x^{30} + (-58699972370360070917515729832a^{2} + 627942640899002412473246739640a - 381722375894896383151796144344 )x^{29} + (413589941480338627635850819744a^{2} - 411761222444166813061529007584a + 360715757997800238079268209804 )x^{28} + (318009260538353061038330646320a^{2} - 586686954163881581830337006200a - 575925998818070125673715120608 )x^{27} + (381546806062962605069234702728a^{2} - 391752802253223966198527985904a + 404084443911204712912283069664 )x^{26} + (295328759440423067521560077560a^{2} + 312038316450021992262495761496a + 285502066521816715346544011240 )x^{25} + (-612667302225600002610793111668a^{2} - 136228251813426791976134648504a + 374219502274546896191942287764 )x^{24} + (530675395217417113234865656656a^{2} + 180987867048210882228277870432a - 619276916778196282354950955344 )x^{23} + (-328155772860622457723047690488a^{2} - 629165085557008352713624495996a - 502900702152782007700178616204 )x^{22} + (-579269710225515462155139398496a^{2} + 119400444911566556055366221648a - 565228278863772518833048945232 )x^{21} + (3739403497939086739297301184a^{2} - 145228135890761370073309018904a - 545011040046347534603219019976 )x^{20} + (-361800613706110190029454577248a^{2} - 115034642665174745453410951056a + 159620426368063465270962603872 )x^{19} + (-605096225484160039689376289724a^{2} - 242051743409310866080629604180a + 232891413910579279663877037172 )x^{18} + (-482569182744185002358241983648a^{2} + 356408468500332206849438020976a + 212701002709644062689427191136 )x^{17} + (452147682602171909209557789144a^{2} - 440916506318656836623667966736a - 474692584549747478009482240088 )x^{16} + (388086128052699396624544493024a^{2} + 430604645834890581472311797152a + 471441324119313239802532995296 )x^{15} + (241528868810384329080341916120a^{2} + 120080066803246415810353885488a + 55766339500458206940950028456 )x^{14} + (63557727737307451689670825360a^{2} - 504234640562432786535771652352a + 608017056357849938015956887232 )x^{13} + (-154501998710196809712228617312a^{2} - 69208216563347819478905331020a - 563024629435382911700085989216 )x^{12} + (405339528709855268442064265384a^{2} - 476355565916702807915273193192a + 445538898962583936939001742872 )x^{11} + (-396840685957479883259284567872a^{2} - 466746839201929931057833033104a - 349840281108249120647465355808 )x^{10} + (-508101396571558152271104944856a^{2} + 13411416373349604472408843728a + 127621523532456213158815788200 )x^{9} + (-268693842103336790837174014152a^{2} + 572362225121146442654299321464a + 440652719029693471095759328488 )x^{8} + (-603758085345048121884058227920a^{2} - 76605973948969778036712427712a + 628084200609332012898417898624 )x^{7} + (305324767503631021574467138080a^{2} - 95043984104295926927352132424a + 401948866488362506599867096568 )x^{6} + (-509149278222302066523986970800a^{2} + 116554626524613059889344931072a - 221438511556255880710943761216 )x^{5} + (-400117565678669735934694919456a^{2} - 332649696177783740376086592512a - 235396743514829377207552924816 )x^{4} + (-55137694347834045473439043600a^{2} + 313816018305547020133962732192a - 251183687633280158344133604736 )x^{3} + (-412041965415769110621152936880a^{2} - 131902353001756821393267266144a - 489645035700410608223002946352 )x^{2} + (12086540568508899395475830784a^{2} - 70450470994960955809144439584a + 80768987690128642923786043616 )x + 264266191791941304308283319960a^{2} - 530058146740181243315623824592a - 481596081537741829388114052860 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary