← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.73728_139264_196608.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((76721180144847830081033729172a^{2} + 16575599918690050081203935199a + 101266337377265699765411586621)\mu_3 - 150168525069183650146485933073a^{2} + 12272578616208934842188928724a - 38360590072423915040516864586)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(a\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 4)b + (4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - a - 3))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b + ((a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2))c + ((3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3))b + ((a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} + 1)))c + ((-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b + (-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (a^{2} - a - 1))b^{2} + ((-a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3))b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a\cdot \mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b + (-2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + (-a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2})b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 2)b - 2\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 4))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-a\cdot \mu_3 - a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a + 3))b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 3)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2))b + (-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a^{2} + a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a)\cdot b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((-a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 4))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (a - 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 3))b - 2a^{2}\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1)b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 3)))c + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (190498406678416837706782479720a^{2} - 420476269988781631124253220024a + 612327873392621757586293908608 )x^{47} + (227317287095714604584521403068a^{2} - 78675590773284410843064030834a + 367136059944804086693181608714 )x^{46} + (-160639090325124421762057330464a^{2} - 388087977797350215155509558704a + 347731556896700715472500091588 )x^{45} + (-148222940979917819882043145312a^{2} + 157085644125884583415718738056a - 472292801641517568292039905872 )x^{44} + (-426002398276895223118253779088a^{2} + 388132083444934030034287403424a + 347288138681835989316018182624 )x^{43} + (193591122574889179055796318434a^{2} - 68227100612729651354914679278a - 176264334143816258352880481926 )x^{42} + (408149096042708964628546126716a^{2} - 106276586516575154186380154760a + 598328820818321562921059952424 )x^{41} + (98561277733285662294635239276a^{2} + 270081982597641260392359256492a + 143539447993881243609108891884 )x^{40} + (-453475253534159123997658956088a^{2} - 595014676922220441507543607524a + 501484257159447252379671551628 )x^{39} + (150128052704186285586330903776a^{2} + 573282485302838893768066061672a - 96866536311312326518747879900 )x^{38} + (-601514712439405163024418496312a^{2} + 251701938240583343048024973112a - 601441961959525278229728260456 )x^{37} + (-470139543513433941563136586952a^{2} - 551756826644825919143152483584a - 618387505783231159563289305580 )x^{36} + (-434916456815416480498421306260a^{2} + 51267496604359923542707903092a + 380708342620284501316552465060 )x^{35} + (-521962879734960673687319585308a^{2} + 260209115127983945700356564452a - 105080920600307897339078626608 )x^{34} + (-589684511439980998433645714676a^{2} - 410375247027143571316050545336a + 238509045189855662944071351348 )x^{33} + (-620709010350197079643289061684a^{2} - 341144146157702210794112836516a - 277519986590783331910905371876 )x^{32} + (154044487389124186807551481496a^{2} - 488276053320100235835261244880a - 563003403921367488091803546480 )x^{31} + (-519357211126648577005958856256a^{2} - 140892624957462043584493205596a + 69489492050719291235444016124 )x^{30} + (556391562853444347466138818888a^{2} - 587447203823706836951606229312a - 332243367543353955445211515960 )x^{29} + (110598507528390605274435399536a^{2} + 239674928593864772498448472848a + 184351617629839683235173883964 )x^{28} + (-202708048413142754140605998464a^{2} + 223479875939325626116997291384a - 65567132177050574050435549696 )x^{27} + (-557977394495788847940392426296a^{2} - 260718772060417362952612305744a + 318761771181343933484151271760 )x^{26} + (-355108437178402952847544481000a^{2} + 112582642526142357138557149528a - 77265738475819715853572570904 )x^{25} + (-152972891704979900683522121620a^{2} + 160970439463808097588446042904a + 327521681570914484773539623532 )x^{24} + (-510769674160207305876028008704a^{2} - 87907078959363775715842056448a + 143101862824128614054446755360 )x^{23} + (552081860976674515505737288040a^{2} - 169465666867171118198087594060a + 140071942405199304157497919428 )x^{22} + (-216497102113884893727948162704a^{2} - 494482415354245110460829613184a + 112175953410024833471059446624 )x^{21} + (139787624531332295719213182656a^{2} - 15145505129013547833793091672a + 227929366835744775366323845992 )x^{20} + (-182120336412336429348757198624a^{2} + 340738794583835544674031340048a + 454870879636818126892318603520 )x^{19} + (-58543591452782070008220136460a^{2} + 246158041960027124309616709452a + 43224077389641351884953371764 )x^{18} + (-257082101297493613923908402720a^{2} - 337415626024880848161730295696a - 612069405796461543600203766720 )x^{17} + (100032437991239440905550906168a^{2} - 587440379503555674547118304016a + 345583074342739381003234616008 )x^{16} + (113802492661799961058365423680a^{2} - 398872787673107176575092371840a - 343948558197305291804130228800 )x^{15} + (136988492407334313130020961128a^{2} + 145410864687302960127719643184a - 104635289085800332281312800408 )x^{14} + (-433208232403069680873702594784a^{2} - 495507452939540319319724585488a + 237216119071342520162616772288 )x^{13} + (-362759598769659724694616902144a^{2} + 437116322296586608715186675780a + 371864171847098132601012278000 )x^{12} + (360228644058615584907337425960a^{2} + 331615858656868329478322946264a + 142796058783909147595142117208 )x^{11} + (306271597599538056813051776400a^{2} + 564747399452936029968375567824a - 120212994809822111497553873024 )x^{10} + (-456872319226223987477316372056a^{2} + 387118959280329088649428533648a - 423089276315090441969079593560 )x^{9} + (-133272828713909419338186079032a^{2} + 471598735377086352645607267944a + 254329483958407647163055995768 )x^{8} + (560758217671542510548832974448a^{2} + 286215814518501799050692972928a + 443213750092648948057994772544 )x^{7} + (-172897171595799743218323745216a^{2} - 557185056860010443094982914616a + 627526481077470130352131859528 )x^{6} + (570320075310036190920192590960a^{2} - 297057807173149997947580953456a - 107024121060151672514417284384 )x^{5} + (-91430734139150833672847209920a^{2} - 569974053102283017968663842656a + 615916746658100961120355064720 )x^{4} + (506911936830765681412380834192a^{2} - 535633045710284654955813675424a + 454748235685488362705386155072 )x^{3} + (428782334873360797679541143120a^{2} - 58101772919537307393583075040a - 280404665067407002999786528304 )x^{2} + (-286258005891122636021560116352a^{2} - 104910800868893746603261804704a - 442366977753081636235706125344 )x - 505797791705963530491374070264a^{2} - 63633150111365891260000918224a - 40028091108186607338370365884 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary