← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.73728_139264_196608.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((76721180144847830081033729172a^{2} + 16575599918690050081203935199a + 101266337377265699765411586621)\mu_3 - 150168525069183650146485933073a^{2} + 12272578616208934842188928724a - 38360590072423915040516864586)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(a\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 4)b + (4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - a - 3))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b + ((a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2))c + ((3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3))b + ((a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} + 1)))c + ((-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b + (-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (a^{2} - a - 1))b^{2} + ((-a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3))b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a\cdot \mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b + (-2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + (-a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2})b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 2)b - 2\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 4))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-a\cdot \mu_3 - a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a + 3))b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 3)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2))b + (-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a^{2} + a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a)\cdot b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((-a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 4))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (a - 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 3))b - 2a^{2}\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1)b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 3)))c + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (190498406678416837706782479720a^{2} - 420476269988781631124253220024a + 612327873392621757586293908608 )x^{47} + (-36675486914432293626803600224a^{2} - 585444265936461458266381187666a - 73774579401757009766295607778 )x^{46} + (558267760832312740197310089664a^{2} + 578750419292764059485668046344a - 269790747098543184968286860940 )x^{45} + (306142211261162822015269657864a^{2} - 424184316229892260510442409168a - 563331065701924533905300979240 )x^{44} + (-233955888434407340242035360352a^{2} + 293052659026882708284333099104a - 40196373475845381158840529216 )x^{43} + (-161986576262738351695433881838a^{2} + 34820764217674338013358206510a + 315131385330097005669575018714 )x^{42} + (-164320676077792498082635263036a^{2} - 345824200337770711264794659152a + 270538413025580701206135793280 )x^{41} + (-604166161836714529797951600636a^{2} + 50021630899158305185988356796a - 263636189294949502944895654180 )x^{40} + (583513957724195646666026006808a^{2} - 160372855937212715114856089108a - 562768321042230021077996347908 )x^{39} + (405002126729872653154776063280a^{2} + 452420991990607557451723427488a - 217894363304403561975603327588 )x^{38} + (226528071043739095896288136568a^{2} - 468906640852375611893507825192a + 201399388035516360428852791584 )x^{37} + (-43947684627109223283376837040a^{2} + 108175493666057985076583393096a - 557976359721281731342252350460 )x^{36} + (185388305276991512473285012252a^{2} + 598690038523403852537359376916a - 49266961663480758201329526924 )x^{35} + (-306761899246868482141952686236a^{2} - 485976356596291475410272699444a + 248742291210741606834234814016 )x^{34} + (-600935925302951479335689771164a^{2} + 470228923828921382305252922776a + 378501803100656813816125098676 )x^{33} + (-381093553370197463255310079476a^{2} + 248734558865477132668510780444a + 514824053562574263351111811212 )x^{32} + (518482673006941550779898869192a^{2} + 433756548676593293202414695168a + 195474546067110347962760700320 )x^{31} + (-510460437429842748738411952048a^{2} - 375804967623400124134764337708a - 84982693609764733762574617092 )x^{30} + (-592272973904027993142276361760a^{2} - 43258913811600398795881022200a - 262254868964930742335070648968 )x^{29} + (-174693852954692720257590796336a^{2} + 361258061002511647072813540832a - 31587110614295328886510359204 )x^{28} + (-291415728134043519669432158064a^{2} + 419310334175207372746348427032a - 6852537885794129457400621088 )x^{27} + (-436009071999336158471140734664a^{2} + 170611052382191996421226921216a - 377340254300359273911727245792 )x^{26} + (516256305412317188324941254296a^{2} + 107737755011983083645997138488a - 365825423776801491886214091192 )x^{25} + (-511980046050253695717475034148a^{2} - 111733354489991777378566659344a + 272016175561664603442652241892 )x^{24} + (582135806882644722068372495984a^{2} + 253763713553513459721857691808a - 66245397885061543798493608544 )x^{23} + (-207258034890933659013001283528a^{2} + 609086331130816137709550781780a - 85234917906956306567443068556 )x^{22} + (-157614548533481841605951863440a^{2} + 580560289550774652192119674288a + 141445559426401639065899738336 )x^{21} + (130235249994577010286384680864a^{2} + 83288691728984584378305530008a - 91539395216782067286460967400 )x^{20} + (-432156029947447081932886219616a^{2} + 469404651024619452037698514992a + 71512853448583471389830057472 )x^{19} + (454874583267273640678354174164a^{2} + 560984172490275530902089976316a + 10738474486868968930486045012 )x^{18} + (554036098069793535649544882432a^{2} - 446736932919023161078797935824a - 22462210287982594213252109856 )x^{17} + (-475343732040633363883396997512a^{2} - 353749502797150807518588712112a - 79399860871294127451997983512 )x^{16} + (590594522232299640786879659392a^{2} - 186636822540708124637597079008a + 51111717314887231910278405248 )x^{15} + (-563236611819330449362358456264a^{2} - 348361615104596273038781896288a - 361057274113297852650561019848 )x^{14} + (611221061153272774172499127488a^{2} - 405873794198461546109272125456a + 208012547428606674572220282352 )x^{13} + (533090812013139185275611164592a^{2} - 442097680099066392355745525756a - 403124962409760012551773320352 )x^{12} + (-197384077898295496361049789624a^{2} + 358745437561399207498447280472a + 539037618931707834269512631320 )x^{11} + (-240911043993597321252000953520a^{2} + 564821611401336894873761335808a + 380059257557586641352685981024 )x^{10} + (447869550478606354000115916584a^{2} + 591352763200866439204327139376a - 194133549606039756538586252984 )x^{9} + (-194232683767591515420486599480a^{2} - 518832465341885145698646668424a - 48311535118576295065618464040 )x^{8} + (-389079763279674230058389394768a^{2} + 462819182146375938214052144832a + 537612980922960375326991213312 )x^{7} + (111045074085927417851786903152a^{2} + 360013424232871829112684432712a - 402602118132806401477236561736 )x^{6} + (-147496087280615507574443676640a^{2} - 358495548130857060821158348800a - 189795362379824742594659588192 )x^{5} + (39664242238145457484287739008a^{2} - 571094806229797585500121060032a - 151892965326277595767583414704 )x^{4} + (295372783905364493857753383216a^{2} - 546877110778789754938361935232a + 453669868323582485297243997536 )x^{3} + (-540724458384060786796922675120a^{2} - 133821633701175318121047959936a - 378317404683528240463505802000 )x^{2} + (598308878341218094677884762880a^{2} + 133416217873990332959293894112a - 257300654508529677858609028768 )x + 110026354366167555127198866056a^{2} - 453223948157518698937158459152a - 57881917797540220111012218316 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary