← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.73728_139264_196608.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((76721180144847830081033729172a^{2} + 16575599918690050081203935199a + 101266337377265699765411586621)\mu_3 - 150168525069183650146485933073a^{2} + 12272578616208934842188928724a - 38360590072423915040516864586)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(a\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 4)b + (4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - a - 3))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b + ((a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2))c + ((3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3))b + ((a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} + 1)))c + ((-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b + (-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (a^{2} - a - 1))b^{2} + ((-a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3))b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a\cdot \mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b + (-2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + (-a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2})b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 2)b - 2\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 4))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-a\cdot \mu_3 - a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a + 3))b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 3)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2))b + (-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a^{2} + a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a)\cdot b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((-a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 4))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (a - 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 3))b - 2a^{2}\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1)b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 3)))c + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (190498406678416837706782479720a^{2} - 420476269988781631124253220024a + 612327873392621757586293908608 )x^{47} + (-92844657160499665866760677856a^{2} + 363124239998574916653341701314a + 467761693589462922124516829058 )x^{46} + (32209690959985303185563338456a^{2} - 602769964576547868652137730448a - 260643137308393405245062583092 )x^{45} + (285994187644652921432746574592a^{2} + 195932093239982822196540403568a + 141264842147098904006209586600 )x^{44} + (-49102678641562915738224272768a^{2} + 576981992370562038278587848672a - 594120934013173898581561024432 )x^{43} + (454597390369713056997697792374a^{2} + 156123664027800750804703877010a - 427547180782339371232454480130 )x^{42} + (-462938829216167958288860637108a^{2} - 34224142814997761769450941328a - 57474248260927190634623643216 )x^{41} + (-257034789250639769159367603556a^{2} + 349055671932391627703406962540a + 625362150553003384331335365044 )x^{40} + (468475772306497321341481122760a^{2} - 193729225515431346295721003380a + 19500716529036175899101887836 )x^{39} + (251332890489147713898168597936a^{2} - 84134907600725787972858344032a - 179400871950788507727751198364 )x^{38} + (555858700153409218219290847808a^{2} + 172388745132138654075084094576a + 624155852144946458733499890736 )x^{37} + (-587357160889739625389025099792a^{2} + 610413731480327319022405581552a + 214174614248480203806187224228 )x^{36} + (483596585065961193877114900044a^{2} - 161220147522556084049242592252a - 385664089223071289874699772172 )x^{35} + (-5121665533362779562733817044a^{2} + 616874946736251291588520150044a + 1204493447101286078241517216 )x^{34} + (475785513195355357342575137900a^{2} + 99275533273442111154858594360a + 454723709200389175304660316892 )x^{33} + (598653888310286263019562000028a^{2} - 160576762422314169301310439412a - 483594760341128857109748098260 )x^{32} + (-309929122616468136582096629992a^{2} + 582332079318223363643254506880a - 202154356892355082336261532736 )x^{31} + (-517135921633676440745229636496a^{2} + 208055142056131106958854976548a + 433743931994962737919953225980 )x^{30} + (-521523322408379142773516508896a^{2} - 238175137154939015009199693424a - 369413514018552957810481003848 )x^{29} + (-613760042197886412398396808384a^{2} - 135365521613977972434320301744a + 155853840087975882561726488684 )x^{28} + (-355177105311698698642188368768a^{2} + 623856186573421206045527009256a + 447469566649435447776789949216 )x^{27} + (126389135252433114711193819640a^{2} + 420122641631181186806266214176a + 148993758255865568213124192112 )x^{26} + (559618149229498909255144105592a^{2} - 294494641070210824252711835080a + 117280934776671229013517959208 )x^{25} + (252059091193148603721733694844a^{2} + 74172855627485559724056278736a + 441287266248888445877546258140 )x^{24} + (406207011218224946089819712032a^{2} + 82299844381030143892468079040a + 63789586509529636702526032112 )x^{23} + (411516188227149089837460357304a^{2} - 403731468614038516807460751708a + 8907299774639500671291579012 )x^{22} + (352284710772084219197878568800a^{2} + 336549862366991916204759039392a + 199368722076496090606707362480 )x^{21} + (252112001425716518657994746784a^{2} + 220078550650019272047166370680a - 564055877777054319591636487800 )x^{20} + (439464175135140314324874582368a^{2} - 243658034213398602089069179824a + 406586517143062009432100634720 )x^{19} + (-2739504977109498263223404284a^{2} - 193806218368502134179226766020a - 619144312217266041160751412172 )x^{18} + (-43208962817985105868705163616a^{2} - 469484296904447879095258067312a + 141787583223976810809060533120 )x^{17} + (-494229865906563834154382804328a^{2} + 285542310904618922709253873296a + 480784142382754783179721667656 )x^{16} + (556560414775276311491021055776a^{2} - 599402936557059264754861303680a - 303889026823877056223597088544 )x^{15} + (448814612598028225473206698824a^{2} + 324660644593467173065498519552a + 423524516216019620024887789464 )x^{14} + (-212216302836488764306282405776a^{2} + 380877597388954058824779200000a + 75778504873324917741742563536 )x^{13} + (548992853568369745591713879984a^{2} + 355638939033430519311744430516a + 215431214889619500593054991024 )x^{12} + (-477019662621744431823214479672a^{2} - 222982815061998731695378754280a - 545345114624515720702182392744 )x^{11} + (-449276675849272606100384445344a^{2} - 223495876799530415663374361152a + 78912826012599019934976091552 )x^{10} + (-156838155912178646067326559960a^{2} + 377382806259137628101710503152a - 548871422877237857241414637816 )x^{9} + (-495462082183134895155208540424a^{2} + 335955101791751708957427861224a - 38884223698863093271888135864 )x^{8} + (-6911715278242775906717881360a^{2} - 42210671348477785189423224320a - 192016685064398588576239516992 )x^{7} + (-76282514372988779212850109136a^{2} - 115383844841866373966257477768a + 411369728480814536627265209160 )x^{6} + (544582740494449886395409377056a^{2} - 508853260530362197204048657520a + 197760210892840495029579362880 )x^{5} + (-551619835926886120345263028960a^{2} + 36450553564677812914012780768a - 149840258973858080234519736528 )x^{4} + (-609343984547256330909377113520a^{2} + 391133243120740159137611300992a - 4174108918246725635256949408 )x^{3} + (-548260699288823794469442023728a^{2} - 77332505910033927967207325696a - 268929257958846446818544175888 )x^{2} + (288245877098067805972288122112a^{2} + 64912618644177332198108597216a - 298702372769716154934062226528 )x + 254802901915779484518270233336a^{2} + 16057697285722911591819232464a + 237114539919994141728525623572 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary