← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.73728_139264_196608.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((76721180144847830081033729172a^{2} + 16575599918690050081203935199a + 101266337377265699765411586621)\mu_3 - 150168525069183650146485933073a^{2} + 12272578616208934842188928724a - 38360590072423915040516864586)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(a\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 4)b + (4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - a - 3))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b + ((a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2))c + ((3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3))b + ((a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} + 1)))c + ((-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b + (-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (a^{2} - a - 1))b^{2} + ((-a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3))b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a\cdot \mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b + (-2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + (-a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2})b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 2)b - 2\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 4))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-a\cdot \mu_3 - a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a + 3))b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 3)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2))b + (-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a^{2} + a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a)\cdot b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((-a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 4))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (a - 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 3))b - 2a^{2}\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1)b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 3)))c + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (190498406678416837706782479720a^{2} - 420476269988781631124253220024a + 612327873392621757586293908608 )x^{47} + (455505772565942328308176566184a^{2} + 253691427993738558925672791370a + 437444974147860879560165754062 )x^{46} + (398878087212857705881066086912a^{2} + 47106925700146350443884160736a + 198918705993113381206043155868 )x^{45} + (152070415821870286697192494600a^{2} - 371029581611804257869452144944a - 175652932745273031982583482624 )x^{44} + (483537091325810491813584097776a^{2} + 258597807433997426279860576384a - 213157000127922659239261977472 )x^{43} + (-440250790039307528277144274078a^{2} - 128225756989176325826285862822a + 490490003398833502311498529534 )x^{42} + (-134278784457636587503822060268a^{2} - 287410339924392033256321912128a - 229606032026308897897655639736 )x^{41} + (-69054176217344238756756242980a^{2} - 399076736531884788954911546396a - 441429437925859887951924192468 )x^{40} + (-91377978951122733192019108680a^{2} - 255032857247341081025953370292a + 524488708622357480671698029996 )x^{39} + (-265363848368531280281008261752a^{2} + 597077793944114199189710305784a + 423163580228946642658843214836 )x^{38} + (-441458190119125547510380392560a^{2} + 606439798306581659519450680824a - 36589221080424186508755578256 )x^{37} + (-331825004054551825756168287048a^{2} - 298653236471270797245368543192a + 534832511644435240371196554860 )x^{36} + (-34214417908411728774961465172a^{2} - 450141240918094019301444449964a + 47329192543143696034034846404 )x^{35} + (-620412213105748973455021448052a^{2} + 71437304237843058377979541508a + 78565773063842719272711788760 )x^{34} + (-354466114030636183470519364004a^{2} - 104924933060599132105625744928a - 456034407014489999388044485580 )x^{33} + (204145909522726567408482171292a^{2} + 131399220226375225482156634652a - 65324084200657578709398028756 )x^{32} + (317890304126432322234383245320a^{2} + 544193807730231067748860082080a - 595509642834400157580794436528 )x^{31} + (210934027840459767455018093568a^{2} - 406847910993498786368312821996a + 315189784150898268150948418124 )x^{30} + (-469080079146442640410245270952a^{2} - 287280741867202307956097084824a - 611290695679730139353613388832 )x^{29} + (-133605125881652519371750610608a^{2} - 493692683852636216273501978608a - 479146076809967877766082298772 )x^{28} + (-374362004424889060726596245360a^{2} - 354433696376911769421383241016a + 205812793760718560499775698016 )x^{27} + (-39534940177888747520886898808a^{2} - 625456652949196541482665369456a + 530090633519270074632571004064 )x^{26} + (-182152566281707121499017503496a^{2} - 508173349187411114353693603976a + 538514129528249686415035856328 )x^{25} + (-232227757208571627633689074332a^{2} - 59068038639696156095914908504a - 202173852358504762823030609524 )x^{24} + (234503371911078048666175032224a^{2} + 8976070475333002111078560656a - 183694405556649799751818166656 )x^{23} + (-8469181571168202286847706824a^{2} + 221444156090574625320263453444a + 196180816189555582294963300916 )x^{22} + (618806903413805373688679032368a^{2} + 237247061561075461510073787904a + 21585144129276267517654100624 )x^{21} + (469413095293526594349938851312a^{2} + 571094658705057177041008509960a + 629215335844608574063412360136 )x^{20} + (600361225366578950918225035680a^{2} + 202888004821785511947831209648a + 239237709850425179792057429024 )x^{19} + (554452231946114325435667944740a^{2} + 17268433092268617668471224396a - 578004991411441789718405981692 )x^{18} + (-571353077704170444597117786848a^{2} - 369084640266646701636032274608a - 40673188623950463036948134368 )x^{17} + (-98471776272890002363923466088a^{2} + 166272978923742893690072947216a - 526844290673493795585697259320 )x^{16} + (612575529121338048021484453184a^{2} - 17847056406870090692752643264a - 541265087420193683020517815008 )x^{15} + (-330080271087646623572521857576a^{2} + 128893999511127703417087739456a + 420897503923723930233405759432 )x^{14} + (-483399917381418279590275565680a^{2} - 104853943070234041786915030352a + 147462401764152992967600810768 )x^{13} + (317992563837956475410952373680a^{2} - 406040985704541031438026172972a + 277148569100913911028262392960 )x^{12} + (155145315210973924148958805768a^{2} - 168321899755019461960499453992a - 423377803303638979898496211592 )x^{11} + (233112298915696063251417699936a^{2} - 511779150215413867561209555472a + 141521625383687762193159567472 )x^{10} + (-224700063934312923840526861912a^{2} - 437423182782109545219202781104a - 452676477870664465502272345528 )x^{9} + (205375241055670310106094394088a^{2} - 586900494352889263536843241240a + 153000157942295999977548028264 )x^{8} + (229930021550813452195288848112a^{2} - 268040106328879336328139467200a - 361654002104706350447467279936 )x^{7} + (-579675418549475151882699063696a^{2} - 149798529606078836435757900136a - 354399088657044117106710158504 )x^{6} + (598055652816898750246899267248a^{2} + 430056729148427059689009397088a - 404679211180379002773177610288 )x^{5} + (408523575823581907992314587584a^{2} - 271830792147336510349336685408a + 471857233493326809235424991344 )x^{4} + (-475977704176500235659707659792a^{2} + 31606218230332056143674583232a + 315789150349656070382333126720 )x^{3} + (-256980118736980087008077845552a^{2} - 519455971787711187849857434592a + 90378787620895120082200791408 )x^{2} + (182851467199167384386009144768a^{2} - 299780758039540972704258756384a - 257311764338084522073905029536 )x - 226552290565313380239751804072a^{2} + 115488241732659834853206870736a + 320375768037954294019354874596 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary