ex.24.6.1.73728_139264_196608.c

Base Field

\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗

Description

exceptional, SL(2,3)

Construction

Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below

Semistability defect

\( e = 24\)

Conductor exponent

\( v(N) = 6\)

Character Order

4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((76721180144847830081033729172a^{2} + 16575599918690050081203935199a + 101266337377265699765411586621)\mu_3 - 150168525069183650146485933073a^{2} + 12272578616208934842188928724a - 38360590072423915040516864586)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order

4

Conductor exponent

12

Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :

\(\begin{array}{l} \chi^A\left(a\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 4)b + (4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - a - 3))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b + ((a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2))c + ((3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3))b + ((a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} + 1)))c + ((-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b + (-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (a^{2} - a - 1))b^{2} + ((-a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3))b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a\cdot \mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b + (-2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + (-a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2})b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 2)b - 2\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 4))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-a\cdot \mu_3 - a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a + 3))b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 3)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2))b + (-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a^{2} + a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a)\cdot b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((-a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 4))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (a - 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 3))b - 2a^{2}\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1)b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 3)))c + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).

\( x^{48} + (190498406678416837706782479720a^{2} - 420476269988781631124253220024a + 612327873392621757586293908608 )x^{47} + (353450313975171479660478852600a^{2} - 416013340095133492808814172922a - 566648709031148440869127713694 )x^{46} + (-480677290322056036660307516936a^{2} - 3247589141125552876063653288a - 96710303121642433629442077340 )x^{45} + (-624878911842426845831679007104a^{2} - 46963412009815142699034394608a + 585492587429706155232357558688 )x^{44} + (320859033258514503911946049008a^{2} - 276788180629483279399297061984a - 312119811397953206056861794512 )x^{43} + (16173939690653075190256561526a^{2} - 384164757748724836098345453978a - 238042329159045287565348349734 )x^{42} + (-269334215823965341906929426132a^{2} - 175254013822806540251063078208a - 631856173892762021220837937400 )x^{41} + (202458494190334478523923850020a^{2} - 291045053525497519139627314620a + 347559661503609730520101096228 )x^{40} + (179276988978712364898184749832a^{2} - 198342447657990422939686204340a + 493285247876680420472215002188 )x^{39} + (294615453974726596543772137464a^{2} + 538618868913022453068090639208a + 397648019890310346442329618188 )x^{38} + (457857622183901581584372048936a^{2} - 131549284013021480018569597840a + 541841890835239156420372760928 )x^{37} + (-40997086236856280042883066680a^{2} - 295378116619107942122113504208a + 68613204341958807367838979228 )x^{36} + (-439673679027308130790268263876a^{2} - 54732077792041206905472800316a - 389067846171753864863293321564 )x^{35} + (330481942436736009490183494212a^{2} - 94606919103577830748634626556a - 430517427565470689738141997528 )x^{34} + (170118705770459554424623370644a^{2} - 390425100066598702915129164976a - 329603285074092509392382958756 )x^{33} + (76823651676400825419542618892a^{2} + 46667184759605223149184472044a + 602141289600611711469702852460 )x^{32} + (28611599018857119864254557656a^{2} + 121570874162625598086357624992a + 278291292826041491411081909712 )x^{31} + (-84253270995413949717125797184a^{2} - 16740544957302374826258949596a + 99880308743477458025567970988 )x^{30} + (527745295836753071378048041864a^{2} + 166016949398309494838483800272a - 187470026177199072801854218832 )x^{29} + (30229971431972802882014143680a^{2} + 507675718622717398315928313248a - 339537123554244422868396126180 )x^{28} + (-581326959495467422537351764384a^{2} - 447539377872663390145117477800a - 32347327149945899082870632032 )x^{27} + (185568672711382772579162846056a^{2} + 11432010465043893483876273968a + 523836679061131432414635611984 )x^{26} + (304755956672640687969446598328a^{2} + 91886101833426615720100925400a - 529793484856549179143824587128 )x^{25} + (-266364008189524913663456099916a^{2} - 102146033254846483925384087208a + 372699927124334102176335520244 )x^{24} + (10922587755949061986709737520a^{2} - 72485236327116014944067248a + 265509289609389999829391288592 )x^{23} + (261921379564116630360524514168a^{2} - 456838423599158228126502718092a + 92484418162249886879715768836 )x^{22} + (-22298110919165576632094514784a^{2} - 101733421305172741165814623536a + 188740351992558659652839058688 )x^{21} + (536786160161341091615356502032a^{2} + 21475387362187084134224040456a + 500404326000326751363792356504 )x^{20} + (-467233827350142909973491496992a^{2} - 16046398705510223964428776752a + 198214993373785809087424443584 )x^{19} + (-295253557195193107300048440940a^{2} + 53427385209554027741794225036a - 605510068728396179758780431228 )x^{18} + (102843321541249056586676933792a^{2} - 296846004068369947198402170192a + 393539492706020840927959049792 )x^{17} + (205042425667461969441827277624a^{2} - 242239037652186473502229923824a - 84165346069885803988768069720 )x^{16} + (-562167793588600550141092925152a^{2} + 491994857932438697602672059296a - 124032071619214880353342496640 )x^{15} + (-221253708578303675445243876376a^{2} - 489556701759914661054407236128a + 8545730200683906977423967176 )x^{14} + (-92760245260666234955958028256a^{2} - 546050361774028432649674388096a + 363106411035237008981649778352 )x^{13} + (-555842141187469378694231695696a^{2} + 461546122661600277324247634212a - 350352634118276903205167044144 )x^{12} + (486286535177010345078011856648a^{2} + 502213580411762622006486099480a + 169837350321133836135541314360 )x^{11} + (408036094124865735968713268464a^{2} + 227213719235552907269598121072a - 620618811451089514268838777072 )x^{10} + (-498851078086786386444022481688a^{2} + 93620866558383966995635574224a + 631158103408766006311239254344 )x^{9} + (237684973581723545925528151960a^{2} + 77867030263864742659882030136a - 435409707409061951552522149000 )x^{8} + (-28260095834497852582978988624a^{2} - 38266609393400549740920910720a + 398376087269013089845336320 )x^{7} + (98759587573681891207845023216a^{2} - 201967698204068490560705551704a + 565658112533740546808228804776 )x^{6} + (576977664209115954145764474448a^{2} - 74278668245200829496635855696a - 105795931581193770019783978224 )x^{5} + (40612819788782279361222670304a^{2} - 340832895621077915889005833856a - 43590140319357421168375294192 )x^{4} + (-360638322830679726372894585328a^{2} + 560238078403536732596814915520a - 420359131907824419962599617408 )x^{3} + (86267347717898608214316025424a^{2} + 8950260784291074217084556832a - 475415479274527253827695950352 )x^{2} + (515992644299570954637906883200a^{2} - 521591745817310719325550773344a + 371096129718042568114626932448 )x - 20676059204108725730805563512a^{2} + 113128381544818502914856778160a + 558442272553037133739247440292 \)