ex.24.6.1.73728_139264_196608.b

Base Field

\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗

Description

exceptional, SL(2,3)

Construction

Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below

Semistability defect

\( e = 24\)

Conductor exponent

\( v(N) = 6\)

Character Order

4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((76721180144847830081033729172a^{2} + 16575599918690050081203935199a + 101266337377265699765411586621)\mu_3 - 150168525069183650146485933073a^{2} + 12272578616208934842188928724a - 38360590072423915040516864586)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order

4

Conductor exponent

12

Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :

\(\begin{array}{l} \chi^A\left(a\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 4)b + (4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - a - 3))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b + ((a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2))c + ((3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3))b + ((a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} + 1)))c + ((-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b + (-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (a^{2} - a - 1))b^{2} + ((-a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3))b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a\cdot \mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b + (-2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + (-a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2})b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 2)b - 2\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 4))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-a\cdot \mu_3 - a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a + 3))b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 3)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2))b + (-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a^{2} + a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a)\cdot b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((-a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 4))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (a - 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 3))b - 2a^{2}\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1)b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 3)))c + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).

\( x^{48} + (190498406678416837706782479720a^{2} - 420476269988781631124253220024a + 612327873392621757586293908608 )x^{47} + (354384186628131973846100605876a^{2} + 84158550611938426038073982686a - 624894166717159346528144854538 )x^{46} + (-282639475616261655483193973880a^{2} - 191246361248489867738475613552a + 236503683446454533243075404740 )x^{45} + (342134272466668957013840986376a^{2} + 340783407518471808653040675432a - 622548606437340487131032192968 )x^{44} + (239947090751330866018797760192a^{2} - 4035218790319162252449451232a + 542479402270276217091152171952 )x^{43} + (-457797234611638548167757465746a^{2} + 578255036453126525037894237234a - 613359128845684541448656936206 )x^{42} + (631333312726704437733047809508a^{2} - 160524056660107913503750009144a - 2310495002594479457632124384 )x^{41} + (609960579298615754703726436956a^{2} - 82456701217706716817822600300a - 197692762398865902321878125884 )x^{40} + (391967805849372526838473796664a^{2} + 266321238201124954898379352124a - 327955937342287754437883315108 )x^{39} + (77924359446854047012612296a^{2} - 410481964225082895212953590768a + 514138733190712131159001554180 )x^{38} + (39609239894644726415529789864a^{2} - 624685469074512087282491371520a + 631244519314189481479488646392 )x^{37} + (157502557401089401384994347568a^{2} + 25886231740344143266649681752a + 203963263506538164581095852652 )x^{36} + (-239643105056006454902871389236a^{2} + 493245188900642671182392895396a - 189741293449698474478229156524 )x^{35} + (-360066486001570547525067713132a^{2} + 562111875278567898292966181132a - 253247041916926393087802351048 )x^{34} + (310082661495739387567553329900a^{2} - 221729302460644534531363392768a + 395378212280023151255368772044 )x^{33} + (-354529545933247201258681629716a^{2} + 411774502467385266961246974540a - 195545970457852951422311016484 )x^{32} + (127030200906716608076965511624a^{2} + 282537649591878238329551272912a - 320603304512607315891003291968 )x^{31} + (24753262456356564119952464560a^{2} - 204969665400804787649882596268a + 267785727773570385364601048876 )x^{30} + (106135934175207607255677870864a^{2} + 603939199296409274646818388696a - 19681406674938227352384541664 )x^{29} + (-134958255978662623529956685696a^{2} + 398060265226396523289200120688a - 407242408069708229433173020324 )x^{28} + (-485836294951193465439419425680a^{2} - 41796311496393201267504035368a + 35032917299818950573534564864 )x^{27} + (587268711353124002792077713176a^{2} + 414730848499623804527594648832a + 487605813031827493847102073856 )x^{26} + (179047402314369261572100249624a^{2} - 592633172248421943887600790984a + 193114345156732761474571294568 )x^{25} + (-199435928164413893822500627004a^{2} + 587291230121924547752634683680a - 499237313807459132260900272276 )x^{24} + (-218742764892288511126376680864a^{2} - 256334002575353186173990357584a - 126393652094805629355210972112 )x^{23} + (545552666268099645657774061480a^{2} - 593145651799131676547222902156a + 428841519751126905156468366708 )x^{22} + (467328478398920909309521725568a^{2} + 447629298577858918301708781440a + 462964655517189211096592579616 )x^{21} + (-314660252996767923700013463568a^{2} - 483513734003300403093508525736a + 8283616291664186925795813320 )x^{20} + (38028502887839470229577516192a^{2} - 39764769181727093690924090512a + 256357420696182388985477510720 )x^{19} + (-70288233880847847733307684908a^{2} + 244940482707270123603563684316a + 478693240853517647782123003108 )x^{18} + (-540510805546275783116456271712a^{2} + 537018242866199364530440404848a - 608423905464777157251851469632 )x^{17} + (598952300629279851384970666872a^{2} + 591499606438205897559773293104a - 565995785987500086407236373880 )x^{16} + (-139139029756276327702310861472a^{2} + 488003412357481589168160970432a + 63420334905221076176369864576 )x^{15} + (-109058372043318101181268154184a^{2} + 144454968489702651591885836528a - 218746833178459362925213900296 )x^{14} + (-610188460989741517969375679200a^{2} - 351145875806293892651064407264a + 15783157261476703604699583936 )x^{13} + (130269814170963064645477765248a^{2} - 270976731672582659412981261052a - 586090199902386444428368979200 )x^{12} + (381816812824294448453988494440a^{2} - 271422612210659667624048213608a + 87995776346986268314851908856 )x^{11} + (-487301155670308461354998771504a^{2} + 345530345214082381069942965440a + 249052791925804382760472870384 )x^{10} + (-430440511319044691984315984856a^{2} + 383486591025100708731590847920a - 262968001906941710355053533016 )x^{9} + (528091316657053233780412022200a^{2} + 192829870745682028842353404168a - 268273450985125350815479633800 )x^{8} + (229859181170591098175543643632a^{2} - 146107671936556174216733324736a - 601662763652948071515737106752 )x^{7} + (-191540088381617588248707852288a^{2} + 455575128623270761383219448136a - 375956408417365609056183893928 )x^{6} + (53790627978718014471508698080a^{2} - 287153835888896034193542686112a + 94367964059701326826839027600 )x^{5} + (-4305524233242689847128974880a^{2} + 452574201565717726887756427168a + 290556802035649381284595405968 )x^{4} + (26105981468354119659953352624a^{2} + 112981099153715422453501207072a - 519321927735889037044031462432 )x^{3} + (-43896250615488547595150744240a^{2} + 437945775133977170574691169472a + 530755676747353335834034823376 )x^{2} + (-484254263813101034046570995136a^{2} - 288410546830371709882276465248a + 431305687122091232015581757664 )x + 191301448612471641151496373480a^{2} + 440465953681500840209548017008a + 485950223279859095562679814452 \)