← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.73728_139264_196608.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((76721180144847830081033729172a^{2} + 16575599918690050081203935199a + 101266337377265699765411586621)\mu_3 - 150168525069183650146485933073a^{2} + 12272578616208934842188928724a - 38360590072423915040516864586)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(a\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 4)b + (4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - a - 3))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b + ((a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2))c + ((3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3))b + ((a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} + 1)))c + ((-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b + (-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (a^{2} - a - 1))b^{2} + ((-a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3))b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a\cdot \mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b + (-2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + (-a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2})b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 2)b - 2\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 4))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-a\cdot \mu_3 - a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a + 3))b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 3)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2))b + (-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a^{2} + a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a)\cdot b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((-a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 4))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (a - 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 3))b - 2a^{2}\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1)b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 3)))c + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (190498406678416837706782479720a^{2} - 420476269988781631124253220024a + 612327873392621757586293908608 )x^{47} + (-306373525130632305581454948612a^{2} - 409614350579498174556311844510a - 507724071956766418891518236390 )x^{46} + (-383954941814610496831902082096a^{2} + 304732582809362274738963693160a + 116744092791143996683558668188 )x^{45} + (-184727347915952783367949746720a^{2} - 354761970269535523291991376392a + 309643860711038810247420258312 )x^{44} + (-150179279353814115848467977984a^{2} - 388281259338304345012283135136a - 143382044997124879771644710560 )x^{43} + (393451663500423919786334433530a^{2} - 241719203858205785435081942194a - 169971057624456542854909150378 )x^{42} + (380077006937521608112608775276a^{2} + 163401551238910124735429669480a - 2946447227151601886263329168 )x^{41} + (415968141659710141972892714340a^{2} - 349645011519423195942757169644a + 48702399965418527013953184268 )x^{40} + (571786103363948591353815523464a^{2} - 384466135728950207199609184996a + 103737279668200812574525867900 )x^{39} + (-102865643969820606922586766600a^{2} + 124425527159019508382145523760a + 273809924294540959631998229244 )x^{38} + (-368857951887014803683206768656a^{2} + 515018168495523676800217446856a - 254667774588014415942890744136 )x^{37} + (309424406558852936958874506928a^{2} + 202125569237367660663274964352a + 337615224051271143547976117404 )x^{36} + (-405883884285016962036221966372a^{2} - 422645597829179603842837935884a + 277386955634847500734329859156 )x^{35} + (405521407622738813031791861084a^{2} + 198419970436057792670834796252a - 402886452492464338756735350424 )x^{34} + (-587274214422407202171348925884a^{2} - 234497153057699832001120946224a - 327272837145382230840918919260 )x^{33} + (-260408096105525046987947045924a^{2} + 246490040951741410235490702876a - 211113955480806491785685444580 )x^{32} + (-224288010711796184068557967016a^{2} + 630443369940843032735388126640a + 20538994921641456595385544800 )x^{31} + (490221802679089191174111675472a^{2} + 462821438226252459894547458724a - 290096083071678437094150438708 )x^{30} + (-234963228172967465772642139856a^{2} + 12388543910146974622922818656a - 624330636597597827670106052496 )x^{29} + (-594784718046846865623710792880a^{2} + 553943269246559177708770978432a - 239659371255593904336645909140 )x^{28} + (321254224102150276503015916960a^{2} - 453687976295565952470023060984a - 206532357343019836440075798368 )x^{27} + (-1430243524514996350692337224a^{2} + 316094643308433240105250267296a + 17148230220030603721713516432 )x^{26} + (-357749046348763375117210816232a^{2} + 84360663446766054766248820952a + 408076871059233717984437914056 )x^{25} + (-334064338042526937373051489804a^{2} - 88858448064620725751795760064a + 332318866228890971139693831604 )x^{24} + (-571454722996149044514255686288a^{2} - 616491894330989762320834930256a + 616925441608944398089579220832 )x^{23} + (-606315422410928295486767109752a^{2} + 481401516575496237993781512068a - 201900534792768210947882687676 )x^{22} + (-572885937700038509156787425840a^{2} + 569665688492975646328580099984a - 103932813439843914354151744976 )x^{21} + (270784263577569273790152129872a^{2} - 89864554267521236129280588488a - 521013582766007180719738713896 )x^{20} + (310090266597260099022245011040a^{2} + 204999084332213812812145801488a + 428242078561120806211425347104 )x^{19} + (-199197511969295748313769741756a^{2} - 61143018061689911071015669188a - 626583419464535366877858580476 )x^{18} + (-139461050119449318702972472256a^{2} + 121112535109448054808678489520a - 321476199607540211084710260896 )x^{17} + (321591051352642270875112927704a^{2} + 306705666854158427112936211056a + 262163340232341156438522710440 )x^{16} + (-96876258787017526598922518784a^{2} + 607411196433129751461469416224a + 595539179747333214508824672736 )x^{15} + (18834500763428247452293561224a^{2} - 186727507764296391890317463696a + 157554754908974255392227540440 )x^{14} + (-552127570665262899667982638512a^{2} - 147469182997934854794047413168a - 355370319118786470418318828480 )x^{13} + (86847593305712996576035984800a^{2} - 378101533978537740562239318668a + 478416256309946085755498861712 )x^{12} + (-439961227541535294105437949208a^{2} + 186961527302056149474717814360a - 128941102771356301705548767432 )x^{11} + (108025134569939170530040354208a^{2} + 536640663270895419925262552480a - 248241740401930131616655521296 )x^{10} + (-491659424173669343982803901080a^{2} - 460465750522898042893028980560a + 230206075908626178011644557160 )x^{9} + (-433875612566888371230949478840a^{2} - 229972659155317106492565803944a - 524913739766352848660406049176 )x^{8} + (13370186208483808571629805488a^{2} - 388327134193995607590808093824a - 507932654060781976916178491392 )x^{7} + (-416128364851216286429884675168a^{2} + 516579303541473933747931943416a + 227206458787318074206385060776 )x^{6} + (491500939506821092119983741984a^{2} + 457954041914812413692103736560a + 92760532975484256306577311504 )x^{5} + (273269943397960216537861075648a^{2} + 407823616424239872419096997504a + 336524492834651589918182821360 )x^{4} + (-66139623031209477516194874928a^{2} + 560411362525683513306266024288a - 183023160372740247040069821984 )x^{3} + (-219595341308457667933485438256a^{2} - 597676723244369789197775678528a - 204723843575904536437396634416 )x^{2} + (28316704396516430662558630016a^{2} - 383579193595508754807438016672a + 119923410230156416107513212960 )x + 355315050269645121066651210328a^{2} - 60982911595789249555434861904a + 297655391547935558076376924052 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary