← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.32768_401408_434176.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((130955575221216000924556563301a^{2} - 138925132534943820527730485551a + 70809994995058220924726769328)\mu_3 + (88993758761056764923222657896a^{2} + 128383534915449785187173003685a - 65477787610608000462278281651))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + a + 4)b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 4))b^{2} + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1)))c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2a + 1)b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3)b + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b^{2} + 4a\cdot \mu_3)c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2)b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (-a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2))b - 2\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)c + ((-3a^{2} + a)\mu_3 + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1)b^{2} + (3a^{2}\mu_3 + (4a - 2))b + (a^{2} + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2}))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1)b + ((4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3))b^{2} + ((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2))b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3)b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((-2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3))b + (2a^{2} + a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4))c + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 4))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4))b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-18488535829663519206122666504a^{2} - 122325520702413474331285445304a + 305345698732362239155677544664 )x^{47} + (-502132162333118756648620907354a^{2} - 295400407140870982964277170808a - 35716039356591707644452009996 )x^{46} + (222442700828842027802294275232a^{2} + 87402871918355204825508347264a + 286806374420284440191571043660 )x^{45} + (-545747221529180745907546263448a^{2} + 98077673399284327102139897272a + 474427867180842446465546918480 )x^{44} + (-635884670897926826478171504a^{2} - 197364263446063176795800757328a - 214550307801485633889944454464 )x^{43} + (593757870004823365192907503948a^{2} - 37828834527401214591594640542a + 134060077677301032094774202516 )x^{42} + (-118546240759200652513695962036a^{2} + 155909226693720311429948331152a - 145363078183687354535993554524 )x^{41} + (-545930646279077327877281781260a^{2} - 351663586034297979805876186224a + 359029510245728395786626645804 )x^{40} + (-76050866837498344785727878172a^{2} + 139730599911310219523320964832a + 330249726801278094646066356424 )x^{39} + (-345470512715466824058688959584a^{2} - 544065001502055489767696994392a - 226695418420777823677344389428 )x^{38} + (284795028009169051642936507720a^{2} - 360690688095806810668442117880a - 38670089352550304655056918408 )x^{37} + (-286832913141854656061941595164a^{2} + 233939962900785078594172534460a - 242850304028846057735941112020 )x^{36} + (117272508716382962655825280408a^{2} - 26914966858992152081772082212a + 21681358775538464987518638856 )x^{35} + (-363131183415005236611785447364a^{2} + 603956675492900621917548876996a + 472038443228584961337503835148 )x^{34} + (89457134459997728504372954420a^{2} - 12224511563804576656016356916a - 134048209979502537848454289776 )x^{33} + (549255250278989927688678807512a^{2} + 466826146957755340149966157532a + 107316634557380590368355827616 )x^{32} + (264856631763683432248705928024a^{2} - 438220386416310497937308317920a + 355551119360551735207753278264 )x^{31} + (-484939483246845558956852196184a^{2} - 609705596057638679961303413664a - 352656638321085544661264731044 )x^{30} + (-296016022871881406255168475128a^{2} + 282239001630231610115049476000a + 291746663577267260977045231712 )x^{29} + (63335952621409787399450423008a^{2} - 143695533913596682484368055824a + 230567396218330460583462192300 )x^{28} + (365685143432238309515504333376a^{2} + 312825131223006646236794410504a - 76154038106812196681160436384 )x^{27} + (-533932796082431420039978849056a^{2} - 4942666327788956164255657744a + 413002206011939422288944374248 )x^{26} + (-540302102574424444615426390528a^{2} - 52299746526962297192184782040a + 400276755769317934734364249600 )x^{25} + (-97487058237086121843684689620a^{2} + 212571976833359516740844365248a - 428391038727753640358678936032 )x^{24} + (-459077976008676698580295161504a^{2} - 289919766209892942148076042048a - 78938859124488235175583936080 )x^{23} + (594746306818592681838759062252a^{2} - 378576741515779224771832838384a + 611548005388262381293575415712 )x^{22} + (-203088566925028752424565258208a^{2} + 188609830972306840456509910800a + 553025972360008914954101930928 )x^{21} + (392111527352574918785096916352a^{2} + 28835618287945201097160157664a - 376617173756370781677918281976 )x^{20} + (-208374261059799954582725040528a^{2} + 410817704553195613966178451840a + 129043043666514654257814233920 )x^{19} + (96264844666860117943553156416a^{2} + 422859539428994059296936127300a - 490400619331299568888502261752 )x^{18} + (-238303236657437857425622668800a^{2} - 520861630945207750348370733648a + 549460209771423509353829566080 )x^{17} + (-534402880744716881582825472712a^{2} - 358041353532683876841262762792a + 430392254260040506820476168432 )x^{16} + (-167644246526201820083022734944a^{2} + 127871225751047897254062461408a - 53325008144136294334250662528 )x^{15} + (613689167257005998643839923800a^{2} + 62886164007331948912509591152a + 123919841660196393874516056320 )x^{14} + (-618723895460881854806997058336a^{2} - 206922523379408661464730910592a + 517523408141166223912548156688 )x^{13} + (-142888813823718010771723054192a^{2} - 255869365247289848804918032156a - 289325340441646261478148716124 )x^{12} + (-445666715047757230010358242304a^{2} + 115970236892946571066886485160a + 148251603609837958360791897136 )x^{11} + (266537103457344384412979303696a^{2} - 41138033450552437237154389712a - 220502972167404493626636390576 )x^{10} + (623459996736631760499745320856a^{2} + 110395026525016012727484178472a + 540419341561455491835003214448 )x^{9} + (4530842757498007903725913424a^{2} + 269971801576225207206860701128a + 285527233340855082920764964704 )x^{8} + (-27592515183882679260317046032a^{2} + 483619650827791855192670811872a + 262711547989036685765104572720 )x^{7} + (-343321833010261252922299222496a^{2} + 202272050998559835149430391440a + 274063257265833777678569605272 )x^{6} + (5580618882805323453974612832a^{2} - 77175115269398027143604192032a + 599203421012760165531032530176 )x^{5} + (-444783642517306965449825686464a^{2} - 203718600494625255780785666208a + 287280580266583539752322827856 )x^{4} + (612274655153973013175955402000a^{2} + 288110830567670381501127834400a + 405674554521770749298320466096 )x^{3} + (323462595174072208482893742960a^{2} + 211512093507438451417382801648a + 390436276397685421728977952832 )x^{2} + (137117504297119864392157672256a^{2} - 485356450177345029190021295296a + 141466176578943503969344672864 )x + 112873673374840512327294242744a^{2} + 250566495574447583329609990224a - 358844611103251345066451334292 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary