← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.32768_401408_434176.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((130955575221216000924556563301a^{2} - 138925132534943820527730485551a + 70809994995058220924726769328)\mu_3 + (88993758761056764923222657896a^{2} + 128383534915449785187173003685a - 65477787610608000462278281651))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + a + 4)b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 4))b^{2} + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1)))c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2a + 1)b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3)b + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b^{2} + 4a\cdot \mu_3)c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2)b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (-a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2))b - 2\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)c + ((-3a^{2} + a)\mu_3 + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1)b^{2} + (3a^{2}\mu_3 + (4a - 2))b + (a^{2} + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2}))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1)b + ((4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3))b^{2} + ((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2))b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3)b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((-2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3))b + (2a^{2} + a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4))c + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 4))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4))b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-18488535829663519206122666504a^{2} - 122325520702413474331285445304a + 305345698732362239155677544664 )x^{47} + (581279301778017511325266575450a^{2} - 113501168804897238314681611164a - 179447082771858345294232488816 )x^{46} + (176584919717595357961499336648a^{2} + 592797697497401214772944380824a - 603983675208608504522828928404 )x^{45} + (-289894739167063067173416294816a^{2} - 433227812429534392651120892280a + 253401963959199366671723565856 )x^{44} + (-125912849105125637572810663888a^{2} - 363490743144503623648412380448a - 516113547456379589262265069392 )x^{43} + (528636403707889883431524792712a^{2} - 144106380209164953057205441122a - 429763382123580341597193233484 )x^{42} + (-224035912441003333794892058380a^{2} - 232458518340632271375922022096a - 526102291843014185247713964780 )x^{41} + (552930942385225626329909757524a^{2} + 611992027564266180630937435328a - 195824588734451622861758291564 )x^{40} + (-120361999984923367253039567804a^{2} - 184775204183067879774680000352a + 487991215346268412875559969240 )x^{39} + (-251271941628139428579617302912a^{2} - 64309917182359317066950376576a - 358968050318751862300375062652 )x^{38} + (433256709098303261173739613032a^{2} - 267525188799136633867140178880a - 473160545716684421713403733912 )x^{37} + (67275088626314425429288784924a^{2} + 85574170208564978473634875740a + 113321236686412101666517594596 )x^{36} + (-102350745196978479044200256264a^{2} - 586644380243305957913115832852a + 49229961657988821738633634600 )x^{35} + (-8213704032932428144837235260a^{2} + 629304550989290486510634939324a - 483963234929756249160108238828 )x^{34} + (-240991001931719152489740672588a^{2} - 217005432905341171602986047508a + 36918349309191886409207408776 )x^{33} + (-66297564146552772117517763032a^{2} - 366112354273540975344514700164a + 403367549168947898281562196624 )x^{32} + (-346046552606360630632891340664a^{2} + 527964149725819897624370963616a - 219136770836090616936050681128 )x^{31} + (-408293544964975067404200750728a^{2} - 47600915657373797645784228304a + 401084593177465950341823035516 )x^{30} + (-403058047653798096400806880944a^{2} + 14132616862399040213591704112a + 236540025448518588250653164904 )x^{29} + (30778862655595703055393644176a^{2} - 210508793573126890582876895136a + 335361390238648038812734967564 )x^{28} + (-332181159236060082823732404192a^{2} - 353999544287382500161686603512a + 102663253766191141906249826064 )x^{27} + (-473968572907792906718972835904a^{2} - 29068251109263062078947824688a - 144684931984962966743593363272 )x^{26} + (428166493308927963743509256704a^{2} + 459604240438381711862947926312a - 23370956940435371981583735168 )x^{25} + (251307578273922680616269610604a^{2} - 562527084890671617297498257864a + 204361895307368448439244254728 )x^{24} + (-520063206910319003264926256256a^{2} - 183926757052230394476201826208a + 462677202847626517021275936416 )x^{23} + (-48106537269538286095701632644a^{2} - 171278935482832678878112219776a - 592497289258537470934473949232 )x^{22} + (-216639476969413379448470090896a^{2} + 330276136623905874213855241056a - 415728818458084108142737666256 )x^{21} + (297321340627694621003605601136a^{2} - 283631534395431480994453735904a - 14216685890091377865606618856 )x^{20} + (590512147901079125130264641104a^{2} + 75442582574762884680461072800a - 461349955765082611768189537600 )x^{19} + (-296699816072355572987195926816a^{2} + 340849774583801229694532331060a - 168191494978056374985851145064 )x^{18} + (225615678934408773324247588256a^{2} - 305565089595886690289910884528a + 622214851993557757877757263360 )x^{17} + (-590798014454729258797108875080a^{2} + 50780921020598096321973491288a - 107429749529639531218308431696 )x^{16} + (109265882507916349144311907008a^{2} - 112018047755849010305988361664a - 478064349831827739247482858688 )x^{15} + (333567315699378206121286500040a^{2} - 232444305435741051605882792656a - 22671615433585303270085069664 )x^{14} + (-528055140095398295367227867136a^{2} + 48104196097986734195175200848a - 51862200211742926153287776144 )x^{13} + (249947628550346254133504018048a^{2} + 336041662289521359911919289972a + 236048056575671265763364665588 )x^{12} + (-348375852384518175977924811488a^{2} - 444456855348663602792269915384a + 571725274240530337408584147216 )x^{11} + (-259316652136766421255781140768a^{2} + 545342727826860636604213807584a - 435323813008595156909727586144 )x^{10} + (606636811615817036386255305560a^{2} + 51026649033938776620723039112a + 454630325197152528494039102256 )x^{9} + (-374544857493600753359284786560a^{2} + 505230479731027508864729914648a + 519160361274952829544876810816 )x^{8} + (-482172517508262533626828946320a^{2} + 459377649311176545186923055904a - 583971057592088999339975881936 )x^{7} + (-626550304536558997600035950048a^{2} + 422149510495817390340841906816a - 381766725539755772640799628440 )x^{6} + (608407249623452573542325747120a^{2} + 480938365846553595029858809760a - 35977276316560206164935279120 )x^{5} + (27253418906644145691893164192a^{2} - 433159056303255550143143022272a + 192200125531601251799739357008 )x^{4} + (283899156260143193672360771248a^{2} - 338099141869935779126681516000a + 287414839107682063576097375856 )x^{3} + (343237202937352197424291522480a^{2} - 575073415638704343124218274928a - 247609608689460983567723636160 )x^{2} + (-55281480301821184735747219008a^{2} - 204556377845863256450076473088a + 424326299065887345634317478624 )x - 206033099921375552673025759880a^{2} + 552905268688577792571111410528a + 77300226550106403389956250028 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary