← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.32768_401408_434176.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((130955575221216000924556563301a^{2} - 138925132534943820527730485551a + 70809994995058220924726769328)\mu_3 + (88993758761056764923222657896a^{2} + 128383534915449785187173003685a - 65477787610608000462278281651))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + a + 4)b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 4))b^{2} + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1)))c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2a + 1)b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3)b + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b^{2} + 4a\cdot \mu_3)c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2)b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (-a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2))b - 2\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)c + ((-3a^{2} + a)\mu_3 + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1)b^{2} + (3a^{2}\mu_3 + (4a - 2))b + (a^{2} + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2}))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1)b + ((4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3))b^{2} + ((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2))b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3)b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((-2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3))b + (2a^{2} + a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4))c + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 4))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4))b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-18488535829663519206122666504a^{2} - 122325520702413474331285445304a + 305345698732362239155677544664 )x^{47} + (533691430558934738718932773878a^{2} - 338081850996608333574429588964a + 64010523709512617524807298016 )x^{46} + (-368602245424814406001841465736a^{2} + 231163847974904812012765424736a - 234925307502268138441755889972 )x^{45} + (25180983551030285433277764968a^{2} - 73057649165587260244821039960a + 539224608323023810471742079944 )x^{44} + (533017726066671110693607025024a^{2} - 413149606892832864442949872496a + 356403773146365240301919749632 )x^{43} + (-600840608396743425736772143104a^{2} - 38665455284552449570404137110a + 174521307169343851297059118212 )x^{42} + (28347755261098681404133959084a^{2} - 457171938519269978386485411008a - 297682339872871998599870997812 )x^{41} + (-492354171421770340063595852628a^{2} - 420343986020539446280082848392a + 384324664398648366673565855764 )x^{40} + (438900659699754035090790318612a^{2} - 80794594904063185457089935536a + 538092436061175987597938652696 )x^{39} + (443237906524749799478936526096a^{2} + 307364095619739930763534784576a - 259419035570586106589265538180 )x^{38} + (120450854114529501607290683040a^{2} + 364117323306567067815963705480a - 633586055294707235708846168224 )x^{37} + (-143395566127007956171469495284a^{2} + 83566388102734359584772393700a + 311286096453688963606795603724 )x^{36} + (366182188443628926042376657944a^{2} + 246945502678129583817290366204a + 351048472307683334244582658040 )x^{35} + (-170379549756100120011726911012a^{2} + 355530998621118330596693634108a + 298661990922924257486549630972 )x^{34} + (-550195546639530110152482734500a^{2} + 440443781392380927394634714676a - 436495156869119799626883995192 )x^{33} + (336054622276756312248603313800a^{2} - 199655322796515491304872929524a + 191172947266637013611631188064 )x^{32} + (557931756173211072534922964248a^{2} + 277639495593142983259490507360a + 321164117078163087273733249320 )x^{31} + (-308070911109267946698806398664a^{2} + 399299898305395254288832969088a + 152882432904363141719066484924 )x^{30} + (-216760883709805480385459300736a^{2} - 160099236888908443343551422232a + 481718269712519242196072899200 )x^{29} + (-531731080461209217413397939312a^{2} + 469334269160595252066689593488a - 121589280151040024118110829492 )x^{28} + (233439462657401566459579016720a^{2} + 482035892861834539188416263192a + 231421324435053582568750452000 )x^{27} + (-479022038006894310530649202288a^{2} + 29257051294570737093928023936a + 405195721733466461924128679912 )x^{26} + (-48600336791045375629458989984a^{2} - 548285396853113941447542661464a - 39715396295599877292700820992 )x^{25} + (-146949171432836706824607868756a^{2} + 90882528497795728792604396888a + 185118793549020169471648921424 )x^{24} + (264856278504844007157767946576a^{2} - 528054048478725497876737732944a - 545128180747021055597871101536 )x^{23} + (58946011853497143492569513484a^{2} - 154892981184849276993518192864a + 492536010710881701423991395856 )x^{22} + (-238190656693315431358731894000a^{2} + 254536837773140395746849502480a - 221425468146560218969049864432 )x^{21} + (-441641753066816600884016377584a^{2} + 233964859639495701145911946160a - 283416176549782565613600777368 )x^{20} + (-222384043925977541028158278864a^{2} + 100705462781613233634340226656a + 49065757731483987318637492032 )x^{19} + (183227212899005011150484179600a^{2} + 297086256749090051845872882468a + 496713327229219924954668120632 )x^{18} + (126189624072808811080109025696a^{2} - 338070028003637131838884069104a - 386351552036236365182425718464 )x^{17} + (-297011791448325421567181465192a^{2} - 192554586482681651738749143624a - 293949012876796361102917020880 )x^{16} + (582560885253226790642839674624a^{2} - 89499140622996707135346188640a + 334983385456833438321827321792 )x^{15} + (-489415554801598066319266788904a^{2} - 30710643939082565145243885776a + 239383157396897907328688802928 )x^{14} + (413017987709595294900351216688a^{2} - 723574915374015689050659968a - 277258704033646554299439167648 )x^{13} + (-186082786473220692281739031184a^{2} + 250775423023541195665252288244a - 200169875777840054554724423916 )x^{12} + (498168624430847202057699952224a^{2} + 226352999458295049946052733704a + 296349292224282563546587846672 )x^{11} + (-509414759670967510287570668464a^{2} - 75129775486593560891018139136a - 227936601443884589880336252880 )x^{10} + (595515013009001115096900947288a^{2} + 119875106800204524206195106312a + 533672358500450121749568606128 )x^{9} + (507286005759943182784525963104a^{2} + 23390702428224052334070291752a - 7935489008567400638260939968 )x^{8} + (464664571266942916829187403568a^{2} + 528795209169700765305489537120a - 499646583383681558414004115152 )x^{7} + (-187056690631448290186490024768a^{2} + 473022785076135831973202992960a - 406760773134560190252433123400 )x^{6} + (264401927761400458838761841808a^{2} + 500466594880849810605943058512a - 132330094468949684738004609472 )x^{5} + (250754984457902234476211302176a^{2} - 309199328298541754401851439904a + 286048606021097408991944991056 )x^{4} + (-312532350412787109217405062960a^{2} - 568378551826152559159139804000a + 160461633510829552184018085840 )x^{3} + (401456760671406160853697140592a^{2} + 352260966043422996549876514640a - 250105920843397434137357826112 )x^{2} + (113642453284261019428058150272a^{2} - 340776225746082148996080160320a - 11924185500671283822575222880 )x + 123593875378301242073512935240a^{2} - 141758507818434928125461098528a - 562789140403237578291377289124 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary