← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.32768_401408_434176.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((130955575221216000924556563301a^{2} - 138925132534943820527730485551a + 70809994995058220924726769328)\mu_3 + (88993758761056764923222657896a^{2} + 128383534915449785187173003685a - 65477787610608000462278281651))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + a + 4)b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 4))b^{2} + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1)))c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2a + 1)b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3)b + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b^{2} + 4a\cdot \mu_3)c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2)b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (-a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2))b - 2\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)c + ((-3a^{2} + a)\mu_3 + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1)b^{2} + (3a^{2}\mu_3 + (4a - 2))b + (a^{2} + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2}))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1)b + ((4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3))b^{2} + ((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2))b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3)b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((-2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3))b + (2a^{2} + a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4))c + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 4))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4))b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-18488535829663519206122666504a^{2} - 122325520702413474331285445304a + 305345698732362239155677544664 )x^{47} + (-161550336885421414612761939910a^{2} - 584430360095897757875077401560a + 8173521459104314128808434604 )x^{46} + (541893850984692450917754020928a^{2} + 19774306059079913704078999896a - 342771939036613768146854804372 )x^{45} + (-454928136740855867542167920000a^{2} - 139701794178729467613543930696a + 199206495794609649107956466744 )x^{44} + (-73551983084021820977208939872a^{2} - 442573809971752109352817445568a - 491668409714801009127752275568 )x^{43} + (251117944331421378980717317964a^{2} + 622291626727911810284229903734a - 171794232335642299678565609628 )x^{42} + (469197343447253545700775723108a^{2} - 518910929368907335622238965200a - 161104494526206630890690415300 )x^{41} + (106425070664406192639009216236a^{2} + 587614894294025710026805196360a + 320269833311411426940347451676 )x^{40} + (-120522999402993588983000579052a^{2} + 49982894928700725438133800016a + 216155152412399876465472691144 )x^{39} + (257689095072776847314019719344a^{2} + 339231812191763425514335371384a + 467156413697601209395768784084 )x^{38} + (116992895075207064007906224256a^{2} - 355454330603125987902068708512a + 110479241590866152657121959056 )x^{37} + (105488958365518417819042581476a^{2} - 446689243282505714693007995228a + 412432450338149525562593111204 )x^{36} + (-435191477352126988000128713288a^{2} - 247327294823750813719272724212a - 28505771294830602690903407016 )x^{35} + (491801495280161349372772937604a^{2} - 33453511520510580288363709612a - 327797033113350615291841173404 )x^{34} + (-595603543233684188792540838404a^{2} + 180850190584463941451969249940a + 384029449430968774641672943520 )x^{33} + (-386023242037146335376328928552a^{2} + 302321247381003028764964649004a - 251759240002910424376273975056 )x^{32} + (267415080841696260921365094792a^{2} - 521996204678165626297584669152a + 498095070499656018727526573576 )x^{31} + (574304516474784195887294680968a^{2} + 63233101325089026821820376976a - 229785596949547414051893450148 )x^{30} + (-633775154277094425869263760984a^{2} + 507212089633623252748440811064a - 442327185474683053408508086360 )x^{29} + (-620426216628409502234709299072a^{2} - 170552149658620620824652548160a - 331468685905595173950660114516 )x^{28} + (356166140603997468033288242352a^{2} + 94950615953726719466373407928a - 536381233176322495350141766096 )x^{27} + (-540308267740675716294344797072a^{2} - 246842940340470990782980267488a + 183099420710167313539959774168 )x^{26} + (-58618948670106115578393179840a^{2} - 585332437261666940155037279064a - 63244703412579208870706308896 )x^{25} + (108214199699876810193755527980a^{2} + 299668055043431982750736834064a + 469075059067978365362499839928 )x^{24} + (496223952184497698041351277616a^{2} + 194705549081856217660776799760a - 227453255415753155424839265328 )x^{23} + (262720474340838222832970854044a^{2} - 170356136557199468929923964592a + 114830250135737676041557050880 )x^{22} + (255892906874604846960693460704a^{2} - 358586531917128733639767750688a + 354136107739388415926575331344 )x^{21} + (380939223032792913932084856064a^{2} - 20406173842342944100679352144a + 609153882276698148432343874680 )x^{20} + (-527496172229726788047191794416a^{2} - 144063733462721001336829033216a + 478336553939880468323773477952 )x^{19} + (611155228278277129458042176112a^{2} - 123172394809689199921999906828a - 2706218063039525800143053624 )x^{18} + (-168811215713230491402570226976a^{2} - 112238458032068165519917043056a + 348115230910933585164064460160 )x^{17} + (102069037825409251988613008728a^{2} - 448246089681734620137781991944a - 314570148549886847915750806928 )x^{16} + (-413617690299176463716686429088a^{2} + 293642810749287303006257516160a + 171971859045839480334836193856 )x^{15} + (-565777525403612559155821799032a^{2} - 603308324845561633495089202960a + 487162217346555805024251518864 )x^{14} + (364977028448666852319908388048a^{2} - 618826386114174056467535773552a - 426962818116624057311101339328 )x^{13} + (431839313264973361124459899552a^{2} - 419841861059305148173407504892a + 165050620307790080884626833828 )x^{12} + (-562576851290005230736877508160a^{2} - 524705476525677003242469742296a - 354921455756056093250095831760 )x^{11} + (-291572943030418704183780538784a^{2} - 492955863898829121618403838192a - 632311543301507479994141251936 )x^{10} + (496088058173428916704606964056a^{2} + 326327031179604835312411551464a - 377640479130590776443874018192 )x^{9} + (-277298187374609889015399135920a^{2} - 144477297964827078883016419272a + 448684984944276498413841440992 )x^{8} + (-378381314141122197100629221200a^{2} + 272716354574372357236907357600a - 62339127915975986685968025808 )x^{7} + (450835824881062990498383419264a^{2} + 498838145497301477344393508720a - 596805869310218616134030239928 )x^{6} + (-92998140539385486479811143904a^{2} - 93622078936723008666326805104a - 522473373696672532860729072208 )x^{5} + (609983395014826626085647936384a^{2} + 249695766257224427836021715008a - 487012210242472222790485306032 )x^{4} + (296950137757163523313042446448a^{2} - 280126797210001597709241219040a + 567086355722462860301844133392 )x^{3} + (-189266898726229981670493255376a^{2} - 376005748323776321336593803984a - 212866166473269286658216644800 )x^{2} + (-43587746933673780236950617280a^{2} - 480944738718353122996032812800a - 61996048356018229539259537184 )x - 299469519204968415479984048344a^{2} + 193809137101980352923288739664a + 447188263070537973396801154908 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary