← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.32768_401408_434176.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((130955575221216000924556563301a^{2} - 138925132534943820527730485551a + 70809994995058220924726769328)\mu_3 + (88993758761056764923222657896a^{2} + 128383534915449785187173003685a - 65477787610608000462278281651))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + a + 4)b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 4))b^{2} + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1)))c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2a + 1)b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3)b + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b^{2} + 4a\cdot \mu_3)c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2)b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (-a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2))b - 2\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)c + ((-3a^{2} + a)\mu_3 + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1)b^{2} + (3a^{2}\mu_3 + (4a - 2))b + (a^{2} + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2}))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1)b + ((4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3))b^{2} + ((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2))b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3)b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((-2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3))b + (2a^{2} + a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4))c + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 4))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4))b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-18488535829663519206122666504a^{2} - 122325520702413474331285445304a + 305345698732362239155677544664 )x^{47} + (318115118118609572992214136402a^{2} + 62850446244645970553446612812a - 271838310107690797059795840364 )x^{46} + (-546400083014323168917416351200a^{2} + 406540786619207941352741012248a - 119820458598109327461248509948 )x^{45} + (-10237686450375891515837976568a^{2} - 531415840722941784757243758624a - 210232079471315514755235749456 )x^{44} + (52541254850748766401517300736a^{2} + 451021862366690733518620408288a - 227219525694283834193207602768 )x^{43} + (-567410628144605957399553410044a^{2} - 469396033698588937964758005986a + 128552969439279872964059297664 )x^{42} + (370625556388323766433515562060a^{2} + 522776268910121634262867825416a + 425244825221523843720457841956 )x^{41} + (-419820865864935051735819927092a^{2} + 238625265778923317294029595824a + 188191056149258488807020094836 )x^{40} + (473406289618921768904785317748a^{2} + 13320510225408638840982645408a + 22257231156272673700362131576 )x^{39} + (-469258953439283199793655992952a^{2} - 355054877280168610128914099352a + 443376549379306557063251382940 )x^{38} + (-66659884709469508995942496504a^{2} - 628704289925119539669653334024a + 453228899507494958263694764688 )x^{37} + (120256655848078880378941153660a^{2} - 271612590536402786841920105740a - 492461223346298116980720870316 )x^{36} + (624286717606379947339747252312a^{2} - 453041251534440585224743625556a + 568864478777748979424890645912 )x^{35} + (-88816994905275043197897247924a^{2} + 95848718366718156690522333580a + 559586536223176221722198820196 )x^{34} + (177645817908126431800358950284a^{2} + 626648316886835526352922079580a + 303389567323707998905294652920 )x^{33} + (570515943300701199203847651496a^{2} - 441153808872504580398676782836a - 367523813591349155854806218416 )x^{32} + (454761390915317975174189435640a^{2} - 412359271301370946229613387568a - 501750942141672727254239544104 )x^{31} + (-464018221323327684870500346264a^{2} + 625698822930806588769039974736a - 564255640200823582727142309908 )x^{30} + (-114436782497526458860102932128a^{2} + 358230066950730641328108745304a + 605050370779523560916075515288 )x^{29} + (34888646957533382107633990432a^{2} + 410714878013767992725032378080a - 91212983144606273495936036324 )x^{28} + (572601080012777740110158643360a^{2} + 566532062217506670287499586120a - 144256255290455527864809170048 )x^{27} + (-621523819196197228461244487328a^{2} - 316922803215621332524954136720a - 132695202149236428289512909912 )x^{26} + (394144309066111923804916064736a^{2} + 623690580165842970010489109960a - 456398290288836619667127354144 )x^{25} + (-128544210540435023130497014028a^{2} + 627018974296071652502272881152a - 128421930692971864097885490368 )x^{24} + (-568774573340128143089142648752a^{2} - 588052044500682660780790224320a + 242047929995958035145301842112 )x^{23} + (325261322924316090727345833660a^{2} + 506401059210647694326027963776a - 126804659226186972354271791872 )x^{22} + (-42838390156301137043182538400a^{2} - 120967214838638410996203608736a + 382047262992926247988251291584 )x^{21} + (419219830733540150464649006608a^{2} - 531958452896828067713574540048a + 50358546687901133000237316024 )x^{20} + (-627152546585009564487679242192a^{2} - 108846289406981005083203021760a - 478205882413380028751943619008 )x^{19} + (-274955582100767742479689851328a^{2} + 380475601339775292502569042644a - 234992163098912233858871718200 )x^{18} + (601708516182576713120594961632a^{2} + 255490451444708109723280627952a - 190929366723502884406241441984 )x^{17} + (-266975685543842711283900069512a^{2} - 93413913729043301379568213000a - 492444272299487631483313132656 )x^{16} + (-121180611245248866772358283488a^{2} + 590874538335692678936109644416a + 159987092226624401985189408736 )x^{15} + (-614402318189537448478546487560a^{2} + 494556036483274418516998798944a + 243638227105942498572349224032 )x^{14} + (368572979322313222483043771296a^{2} - 116830359186940409961122817088a + 467818374068507984511335242336 )x^{13} + (-321527582352817193627540816256a^{2} + 305682418504677938887454561268a - 168738644616588827325030032796 )x^{12} + (-370801413059837472305028797152a^{2} - 376569089073825376871237954200a + 324528179398618197368389979632 )x^{11} + (-384673151389353916728281612944a^{2} - 243214130699957882966877276640a - 26156323382901349982120613184 )x^{10} + (358817746206527632661074539768a^{2} - 282851023469439379834045346616a + 11756362923994176019196995600 )x^{9} + (-594572730045399010949982306640a^{2} - 495463752368966116772674708552a - 362628732979401196063170752688 )x^{8} + (482204040164822306389040850352a^{2} + 348451995161830566768965426144a - 44980168205147993518323337680 )x^{7} + (624870011975488832996042671792a^{2} - 347744462849504857402803305296a + 508214339345189227878357696408 )x^{6} + (182741636051339326979611176048a^{2} + 241960532102244778913449934544a - 582088865270540516450103799824 )x^{5} + (-434992613095210435600845522624a^{2} - 111417939601588442983906157504a + 188165299971542419870069704688 )x^{4} + (426250640300059086335129990224a^{2} + 497247433085141961569869127424a + 461250702139185491874401632240 )x^{3} + (-168760977044322420409667452656a^{2} + 369045370169046848977323281424a + 303917351192047849412466879584 )x^{2} + (74465816256471444977845842304a^{2} - 253674606006225124088029022400a - 246796362783707016072203284256 )x + 252518583211909349482324872312a^{2} + 421544612852372465847536174000a + 547107094720186650039869120588 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary