← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.32768_401408_434176.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((130955575221216000924556563301a^{2} - 138925132534943820527730485551a + 70809994995058220924726769328)\mu_3 + (88993758761056764923222657896a^{2} + 128383534915449785187173003685a - 65477787610608000462278281651))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + a + 4)b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 4))b^{2} + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1)))c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2a + 1)b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3)b + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b^{2} + 4a\cdot \mu_3)c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2)b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (-a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2))b - 2\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)c + ((-3a^{2} + a)\mu_3 + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1)b^{2} + (3a^{2}\mu_3 + (4a - 2))b + (a^{2} + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2}))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1)b + ((4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3))b^{2} + ((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2))b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3)b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((-2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3))b + (2a^{2} + a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4))c + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 4))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4))b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-18488535829663519206122666504a^{2} - 122325520702413474331285445304a + 305345698732362239155677544664 )x^{47} + (632788713874549812397870499598a^{2} + 469869129322475079552007884584a - 185762838719795231898290460848 )x^{46} + (512431430133375346476067664296a^{2} - 192187954438157731384503315744a + 469467978509697493716378438340 )x^{45} + (469925946174602787502751422160a^{2} - 223976286543171880413766896752a - 237139792338952943783998678160 )x^{44} + (391271539954708335477602366784a^{2} - 344952189109308445556981046672a + 50055665968078204751133266144 )x^{43} + (157495556738001723745787797840a^{2} - 25792922204354015505146778318a - 232189380712716076827937049920 )x^{42} + (264425399821322402560583288292a^{2} - 491949607507075198695431232552a + 342239083441116952377437099892 )x^{41} + (452372515656341501088247598268a^{2} - 216197146617041158964287188400a + 599845383865878549779166028412 )x^{40} + (327700581012937685417971888724a^{2} + 112107627895555656807244842336a + 600405121864417563671828167080 )x^{39} + (562429600955887051131569695976a^{2} - 280152887449115910992119397312a + 188290077624013835612322674436 )x^{38} + (-110426935883009462212889068648a^{2} + 55024473566145647158755319552a + 106056955884567275649465228752 )x^{37} + (401775399531481743814323502388a^{2} + 633471564680305372222536180420a - 236388425914385112958350807972 )x^{36} + (-395317433848142923797473231240a^{2} + 473090216264524955562377078236a - 127688425406109186942283886728 )x^{35} + (290272987709083563585446073876a^{2} + 181611153204426599448674780820a - 190392912056177219724605695956 )x^{34} + (-473201626523552032973078999492a^{2} - 517398896070690878542335698132a + 610799030841974335008475805392 )x^{33} + (229302512563328319847287029272a^{2} - 515211213712897046985839135476a - 365461332113337968995814162432 )x^{32} + (-228518172575856870766187638840a^{2} - 414192724344413237234833553840a - 491584166599672787952992247464 )x^{31} + (449647105528012574482338255864a^{2} - 64770046437820873509796781696a - 357682569721606230345299841716 )x^{30} + (589865251737628346606645172904a^{2} - 353194359791908277706838240456a + 464173410086364663302596891376 )x^{29} + (632390358126395467178275406224a^{2} - 349570854817005872327708423120a - 14608812429110396693191825604 )x^{28} + (283020670352132506287632224a^{2} - 367607260538032125564730622520a + 539031916957671031395524364912 )x^{27} + (93316265443274398255794030688a^{2} + 110434801978709421318667088464a - 552880553185438781509141573992 )x^{26} + (-42207941557098464799844718848a^{2} + 610140737614818484453983386472a - 410268472836652940268147395584 )x^{25} + (-630993995332455825792879650956a^{2} + 619400215230164007049515250776a + 557765594751746952623569137464 )x^{24} + (513980939614608711118620485904a^{2} + 302452239664409300744853747904a - 179598769245006381769453487504 )x^{23} + (-605690037514543393563458340436a^{2} - 425826752273768512972263902544a + 520455261814731805589831483120 )x^{22} + (-499840937534802804635914695312a^{2} + 487304080779127396625035749904a + 518077586117124171345028645056 )x^{21} + (-284409019389680343875443052032a^{2} + 32159468634727305921352236944a + 38544151696632633214077013096 )x^{20} + (281225536654300129038802809104a^{2} + 83622092564827221858687911648a + 349772069631135835347908438464 )x^{19} + (-611898077336857299134991999040a^{2} - 567253718089871865955545207484a - 308461461729389368251364320616 )x^{18} + (-120006337070409932845080188160a^{2} - 342192668576273456701137477776a + 461512867310291125161309504736 )x^{17} + (-389694435672292497959658463112a^{2} - 343053836980515122839491431560a - 453881724751853858828377897712 )x^{16} + (-344252111056697703270044268416a^{2} - 99766341163047362226391791520a - 517396034919817665703725154976 )x^{15} + (391285534449426329797043847368a^{2} - 333599692867954547555359575392a + 151003301028749474346351835872 )x^{14} + (-566065720651065787355669134304a^{2} - 78249259001027339841804571024a - 55796732287545611160829889824 )x^{13} + (-358280833229506838711201403376a^{2} + 587545533826671802815708118148a - 405544435276531538049361244428 )x^{12} + (-353532482027232126253889745920a^{2} + 418339131495121749188175390216a - 534554545114109227623439157104 )x^{11} + (-321044882981458807905005372832a^{2} - 300851381052320767476425723472a + 156599040993483273779959552656 )x^{10} + (71438651008283117430753760952a^{2} - 441105576459341239289824788184a + 579452093548474115000285147024 )x^{9} + (-169069512987092147075860069408a^{2} + 172389923313380972069447860200a - 276273403608623594644652108688 )x^{8} + (-478324039097766069270092847568a^{2} - 551465417693817031822484308960a - 292502246194219674489065121104 )x^{7} + (-198241165739248945838414238032a^{2} - 267790907206371325557242277216a - 343384571630067405562192616504 )x^{6} + (463732750341846794541218907008a^{2} + 58518461272964399778809257776a - 466471668475197446036458328448 )x^{5} + (-151126237404576295829717483744a^{2} - 581057845348903279537874450720a + 479917112020563654699635342704 )x^{4} + (-524010193674633552806273400528a^{2} + 6324843386471250269780828288a - 488840753250330690097016838288 )x^{3} + (-345005116632695787837875733424a^{2} + 15633553159862315186892283760a - 606536976490702608586190110112 )x^{2} + (153008672791107556859193521472a^{2} - 285354278226896167197837576128a - 420095723527998433849338285536 )x - 598496186647046017419296939912a^{2} - 293754105590948944579979774304a + 259299350787704794361714335788 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary