← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.32768_401408_434176.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((130955575221216000924556563301a^{2} - 138925132534943820527730485551a + 70809994995058220924726769328)\mu_3 + (88993758761056764923222657896a^{2} + 128383534915449785187173003685a - 65477787610608000462278281651))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + a + 4)b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 4))b^{2} + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1)))c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2a + 1)b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3)b + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b^{2} + 4a\cdot \mu_3)c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2)b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (-a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2))b - 2\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)c + ((-3a^{2} + a)\mu_3 + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1)b^{2} + (3a^{2}\mu_3 + (4a - 2))b + (a^{2} + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2}))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1)b + ((4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3))b^{2} + ((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2))b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3)b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((-2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3))b + (2a^{2} + a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4))c + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 4))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4))b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-18488535829663519206122666504a^{2} - 122325520702413474331285445304a + 305345698732362239155677544664 )x^{47} + (-513828953271983613643128076782a^{2} - 551953237437397161837915182616a - 271587372705343773560764725088 )x^{46} + (76362152072767243757642684184a^{2} - 529878206104734072075869439560a + 522320237930597366779711511252 )x^{45} + (-368914445630376771273223798632a^{2} + 346242917411051298882975232928a - 374725090764164696018132537352 )x^{44} + (-95922881104654018809168595312a^{2} + 465606896573214943707677983584a + 143166660035280090389544024272 )x^{43} + (498283299459238351381426413080a^{2} - 519682968155554337518334076314a - 407652062526868175303449173432 )x^{42} + (381673746209251951833522297436a^{2} + 418574009480048823094555939272a + 167087701541372381273280575276 )x^{41} + (34748159953703160538325094116a^{2} - 447657685368254274731198437816a + 112315572756012744284643937228 )x^{40} + (336330023515610375489149840964a^{2} + 226414847798875010168293660272a - 445854102992654979513167466328 )x^{39} + (360189225184960492204212311048a^{2} + 301994030108771825273005234432a + 373790539422152269005342048444 )x^{38} + (610018151835579675314849035504a^{2} + 338313612738688754103507890440a - 172977358290453416033250462440 )x^{37} + (-6485615948695110388470773516a^{2} - 393663130033354711284852403204a + 454055705944996848721866795380 )x^{36} + (581678270719518450162395629976a^{2} + 489760529369743361025883200524a + 390346953604653681073656609896 )x^{35} + (169083019316682486645933782764a^{2} + 595023052339344462562642280676a + 56299080888849429468626233636 )x^{34} + (596437381866595208302930869780a^{2} - 1350973814585588369903432524a - 310154192802312947347736146240 )x^{33} + (120308456585292091706192552824a^{2} + 436046149528813477685832639004a + 81337974062186635762790963568 )x^{32} + (51907326120768846817483415512a^{2} - 540051980355724135109053496848a - 288997005557428614802327481880 )x^{31} + (95927198964838484522114486136a^{2} - 506291054473712396018027701136a - 173836813102805899321700430356 )x^{30} + (610982771427573207226455244232a^{2} - 197701210735564447174243870336a + 155012035832276517704857985240 )x^{29} + (474852917855477292792627571856a^{2} + 447620353303590063610626249728a + 281589109902345778262358458716 )x^{28} + (-576498524283372065963015382640a^{2} + 159209427539173243764081970072a - 254347494299640269574549854048 )x^{27} + (-416795062495635964524005511856a^{2} - 30614817662307250380151089568a - 633816984051052518640331761144 )x^{26} + (-465645227842013595782984654624a^{2} - 374520550905265332285787926136a - 490061623358051755316594420960 )x^{25} + (511264489804844127665801310084a^{2} + 74651111296290579414037573176a - 392029897818809733423840766016 )x^{24} + (-168731626675901052848985852672a^{2} - 325358014060540416000833119216a - 168677067008108304654571297520 )x^{23} + (599754161958818628075478947932a^{2} + 323941989506627584960971191856a + 433766983036818766916641375920 )x^{22} + (274698897465265762286226539664a^{2} + 352502044299433605008811407840a + 39238811560138127790065834816 )x^{21} + (347224780511868223235139712896a^{2} + 548761777526168184224157733248a - 502529858088146472809710153640 )x^{20} + (315374616276732569856091708400a^{2} - 439930202903645238464697158496a + 251667844364090138656128987328 )x^{19} + (-247773288738923095517878095792a^{2} + 24656839925009059616490320180a + 284669730996244507327295430680 )x^{18} + (98126712051800429017134875072a^{2} + 466758474491716455407380668816a - 357844328021633649525343829152 )x^{17} + (-101706303956070331089347918504a^{2} + 43985293341483757330192907352a - 431888950138508607705002228784 )x^{16} + (150021087808838403728632539712a^{2} - 272636875110415771748959300288a - 295161731128519254857592700064 )x^{15} + (-525852838472469106192543922984a^{2} + 454668887390040053382553128192a - 474463844657397513031284751824 )x^{14} + (292943147137977345699953725584a^{2} - 254290385438988880635919359520a + 273007492109375789321643520432 )x^{13} + (-363010931747670005235105551392a^{2} - 50885898435635056880639695516a + 263726208066641312159380133844 )x^{12} + (238036092533368282880184652608a^{2} - 464253323787505158190656204536a + 165099932235025597775184330000 )x^{11} + (-489349338896572308663889921648a^{2} + 26868625865200497155193411824a - 246838846883280713527867277536 )x^{10} + (562949821781552928329646688824a^{2} - 527664142499428583143328303384a - 75698334255620176547307053296 )x^{9} + (-153189763494824506406652639936a^{2} + 107828607061129576027442084952a + 251504510964158474106625614288 )x^{8} + (-399499545679412712218086869136a^{2} - 82602382259540843983702707104a - 369879162794123182210231899472 )x^{7} + (87513146435559724376718745904a^{2} + 212402407624368508803221203360a + 145780028816586752042258483992 )x^{6} + (355858465141865919748723414336a^{2} + 337092760102214316673361901120a + 31061038037133809792712705264 )x^{5} + (513764875861999298337785359008a^{2} + 135920477784582663038100408896a + 496190537256161047465027733040 )x^{4} + (-162629352740231427653427599920a^{2} + 455617263531340035537203874240a - 531618384892117110657321946672 )x^{3} + (156985618236097388999435930640a^{2} - 266781357584582989819433233104a + 279616624364804327041459565152 )x^{2} + (-451852134313254373072268317696a^{2} + 550614644861754578974411739712a + 285951589212308434485596392864 )x + 434773430631276461799207019336a^{2} + 170049520159981105949745878016a - 14926208022218766418410661412 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary