← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.32768_401408_434176.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((130955575221216000924556563301a^{2} - 138925132534943820527730485551a + 70809994995058220924726769328)\mu_3 + (88993758761056764923222657896a^{2} + 128383534915449785187173003685a - 65477787610608000462278281651))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + a + 4)b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 4))b^{2} + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1)))c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2a + 1)b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3)b + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b^{2} + 4a\cdot \mu_3)c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2)b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (-a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2))b - 2\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)c + ((-3a^{2} + a)\mu_3 + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1)b^{2} + (3a^{2}\mu_3 + (4a - 2))b + (a^{2} + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2}))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1)b + ((4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3))b^{2} + ((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2))b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3)b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((-2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3))b + (2a^{2} + a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4))c + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 4))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4))b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-18488535829663519206122666504a^{2} - 122325520702413474331285445304a + 305345698732362239155677544664 )x^{47} + (-286567280571400234206811989170a^{2} - 95153067165117999303034541196a - 255984992716663072841403714356 )x^{46} + (325781462132665988582886915200a^{2} - 424916785939074536464626624128a + 53607231765118988834683081428 )x^{45} + (-575726882817251321246713618976a^{2} + 338655928442776108298847182352a + 543705748683520485421100995896 )x^{44} + (314014648538966909931774912272a^{2} - 178046867204729631995727370640a + 418105128801515663032375353440 )x^{43} + (-534956463424502362110729996748a^{2} + 110478264488884848483389697818a + 159226948201371220529509129128 )x^{42} + (318839573766443698150798332164a^{2} - 329004896771419152514226140600a + 539315616523258734384715666076 )x^{41} + (-427384106141219222159708096236a^{2} + 61240191138834931517010879272a + 262873451413374485675227864756 )x^{40} + (-186379825796162464019607269564a^{2} + 206977975890792426901263977008a + 239238118186040221504227310520 )x^{39} + (208878289681481422431518170792a^{2} - 279919099616819413255809084232a + 49492629742464042696688874084 )x^{38} + (538905315869656927142176458080a^{2} - 563840051557872059789633224432a + 449987609560701434387117318136 )x^{37} + (110943363680934658360086425228a^{2} - 459559126434842333809748755828a - 605520765751788971632276132932 )x^{36} + (-111483528023742965615915421448a^{2} - 14958258824994295951725043524a - 504043251708107213029385559992 )x^{35} + (496981949803393693271703985364a^{2} - 629783122023291418754965252020a + 489648448192555120847969588428 )x^{34} + (595919862628057425875174136004a^{2} + 242048040844437818714801051044a - 175772644521871904937041498568 )x^{33} + (-82504679275011794828198813208a^{2} - 471916460784055602644945244068a - 626937959334740750033171806016 )x^{32} + (-372239329409417128093523585240a^{2} + 170904731893842466019380884400a + 545081625845146121074472212328 )x^{31} + (-103140013953635424469752568440a^{2} + 224898355278258694797819300512a - 411777975663433911287230316980 )x^{30} + (-265712241135437114827329466640a^{2} + 346027812404369223235975140224a - 573264018905348090492550275792 )x^{29} + (-419041182311027957762556442432a^{2} + 448598222950914451775211317456a + 394515586187606346626457448444 )x^{28} + (-369750815290658378002287848176a^{2} - 246422014164739804437886987592a + 409344493379734359740811740080 )x^{27} + (330762943421638411813281496016a^{2} - 339185020678410078364336724032a + 27655913884347611676244411096 )x^{26} + (-42015984898954166898555132256a^{2} - 13162399902304859356868200536a - 19975643142266437685264573728 )x^{25} + (-591309451586142363895095995452a^{2} + 58739496882528562759504584848a - 155527554641727235869417096488 )x^{24} + (-396198581213804644693326224064a^{2} + 94924512013805443829134347152a + 384260479225420058342852754688 )x^{23} + (-54458931234581937392507169524a^{2} + 410433677963179444785006488480a - 471712140829326388897361417760 )x^{22} + (-359637522802741121882593579488a^{2} + 364935834645101856430014298064a + 148345880726032036895682121664 )x^{21} + (-520559974240605430054835068560a^{2} + 117991336516343016109908969888a - 167811387370073893599548650424 )x^{20} + (479925670959220023851214663504a^{2} + 400364459168079169678954916416a + 257208838990364331879724154176 )x^{19} + (306657579427748609674653764496a^{2} + 207379658233451256250089922116a - 497993684164936443766139321624 )x^{18} + (-536332032827012594428166038720a^{2} - 392936513208572128908039635152a + 448332375139338374233752246976 )x^{17} + (-520777635749702582453829004136a^{2} - 322075793836836229632086640104a + 289531735440367540302386669136 )x^{16} + (-590649977561462446089595177120a^{2} - 528719960748367596730481488096a - 278664602684819483262248159456 )x^{15} + (19303572009837678435581787944a^{2} + 306264129190011467408297269184a - 592183440157494506611108890512 )x^{14} + (-4835708769388572718537452848a^{2} - 405901227411662665629380806640a - 1782735230295601563272748432 )x^{13} + (-334539266503475327268945902352a^{2} + 249736523986185893720620303860a + 379042257849740369959451879716 )x^{12} + (-98985362845781464120682884896a^{2} + 19617921465463201285644957544a + 417774490531327856998016287856 )x^{11} + (16104686619598177751394007744a^{2} + 631747382575877635193822716320a - 431682785602200138005390374448 )x^{10} + (218370043491686224139510006840a^{2} - 313619601999147718268053505208a + 370309427412946783086568649360 )x^{9} + (578188382060505451638265802160a^{2} - 70865182616941982705995865080a - 496238041309549166866879199824 )x^{8} + (514821574046531389735782645232a^{2} - 44214489558287400352657783648a - 50715613681731024961242936784 )x^{7} + (-275438219298038173051733846800a^{2} - 377841716270456494733511101872a + 517163594338876708770285149128 )x^{6} + (374230491427276747262145269648a^{2} - 233647175471477650126954617376a + 411759622294406264787423750592 )x^{5} + (122611859251720227378264852864a^{2} + 279471267002606689352845665504a - 426903905188402443428188221520 )x^{4} + (19820243044760030783359611952a^{2} - 561358297555118936656493418304a - 237939810282428975929569039280 )x^{3} + (-533012053869004066230064901808a^{2} - 14900360495831241167076558128a + 377638180005026884995422379488 )x^{2} + (-207151300191589981048099496064a^{2} - 123944716989592172416944748864a + 134937922205217653695119896352 )x + 178989073888684660676037926376a^{2} + 403521002507951155215941005456a - 532422618754051646963858406532 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary