← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.24576_466944_475136.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-146567298681448329185668892254a^{2} - 104867563765001020726228627440a + 47294023844609456463782393082)\mu_3 + (57573539920391564262446234357a^{2} - 23515971150448764460944376246a + 18183763765998543998495888568))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 - a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4)b - 2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)c + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - a^{2} + a)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a + 1))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a + 2)\mu_3 - a)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + a - 1))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + a + 4))c + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + a^{2})b + (-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a - 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((3a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 1))b + (4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1)b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 1)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b^{2} + (2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a))b^{2} + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 - a - 2)b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a + 4))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b + (-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 3a^{2} - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a - 3))b^{2} + ((-3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 1))b + ((a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + (a^{2} - a)\mu_3 + a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2))b + (a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - a + 1)b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + 3a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 3a + 1)b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + ((3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4))c + ((a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-135395915424165919910663618764a^{2} + 181807839884198740219639639696a - 240140922354091084385017637864 )x^{47} + (566270197812042795316312688084a^{2} + 48613057966607485200512531820a + 362748793523066441635832729544 )x^{46} + (441872342462621872301505696060a^{2} - 208635903998310529230178893996a - 43486219341006845458185594012 )x^{45} + (145514084797760854062232818468a^{2} - 334852510062865795952102560960a + 129928759135192933007501787320 )x^{44} + (365185712037304530577017495208a^{2} + 199419160968239535845506613512a + 241343922823308474811677135816 )x^{43} + (515258840474576510845585144774a^{2} + 108725729936010428282978843836a - 388631634767022058396956368114 )x^{42} + (-254080146932864816457616438392a^{2} + 178770891226460348773486038948a + 148803330818063849228582821192 )x^{41} + (156155597322694927607877077468a^{2} + 273151279133492877616983336160a - 717107651531313004821708148 )x^{40} + (54098886725979083778825373700a^{2} - 49640860171437647662758670772a - 212780964729836740489506966756 )x^{39} + (353744899802580861070510516592a^{2} - 397796243335486545888514819696a + 295825798737969481735766099232 )x^{38} + (-349940262210930417987478234028a^{2} + 524743343698098705412119789112a + 273769297069537115326373350776 )x^{37} + (-411426666715848129331404654608a^{2} + 186737691952143130135381780552a + 317042776451224534348840907972 )x^{36} + (204026356289419289617275116888a^{2} + 403177988923209006688980715240a + 177719972966369561942134625720 )x^{35} + (38128101059143728494430327388a^{2} - 308350563974694079407854606120a + 203314251520056165435169306920 )x^{34} + (-271340660748778361147100006728a^{2} + 66141623243546269103219749100a + 134218685521086365509489404500 )x^{33} + (227137994106327386074787349884a^{2} - 20071212036071875521128791784a + 73979336119511180708183347860 )x^{32} + (286349828838158951867514920192a^{2} + 274316914623681879407330575568a + 440906758478515480869188957248 )x^{31} + (488198614655100698198032662436a^{2} + 67902573246840366135375628804a + 50636436127884272770707913428 )x^{30} + (389138959464214728694927247440a^{2} + 447192143831421717639564794024a - 587694444781564582293529048064 )x^{29} + (341006973571350283365817191680a^{2} - 559984239545310477969501547736a - 290050655570357206145769889872 )x^{28} + (334428124964646175492276384160a^{2} + 348152695025133403598697219768a - 238922520142447983878727388984 )x^{27} + (-109636187709754276938418631508a^{2} - 205735518296253625585157497988a + 186585073746151776470573576 )x^{26} + (-117694317199197727038075878632a^{2} - 11614129656860659452065905480a - 30419513831825760855285076040 )x^{25} + (-377992621199611787739578632240a^{2} - 113852297521558515867019190748a - 70745059492809861511123101284 )x^{24} + (449399309730788313698923373528a^{2} + 549848901006120794805787505368a + 533420363993591901683498611768 )x^{23} + (488160052332748743579578276384a^{2} + 339112884685793918910601737616a + 159278398598133917469319412504 )x^{22} + (502680771527481326713557089688a^{2} + 354251584124331831903107789224a + 55791553977454403609911781632 )x^{21} + (397182695297039522194942731208a^{2} - 511122752322795467731418565960a + 348421060330887816053081207080 )x^{20} + (274537552211636653888142094792a^{2} + 40181500916114860140342017992a - 64034479485980166227938514160 )x^{19} + (465242404105857369503195051444a^{2} - 37854710161647868447525603648a + 354529061446825830260315220148 )x^{18} + (14220700537274516476350448784a^{2} + 112062584895077322949362213944a + 486619052108230697256528661568 )x^{17} + (596397785563423971919628832728a^{2} + 244026041203572434673358509232a + 576859981134407900997162002344 )x^{16} + (-630303748725794935832388782480a^{2} - 349760036055497709576274286720a + 149275517542521357243859952432 )x^{15} + (149441527198670554837338893344a^{2} - 185386586457556491708764741904a + 238451075584932804277157451520 )x^{14} + (592446734006397444005776074824a^{2} + 13069001061374007206056418736a - 588173079565852239611656800160 )x^{13} + (189442264515166540097743609628a^{2} + 579216092824144490220885677292a + 410856033530394704354724054760 )x^{12} + (6467271007502724424414039056a^{2} - 198979880087508899999106103840a + 116140515996927343360952423296 )x^{11} + (-32949751907054335964478305400a^{2} - 536832751569973135713739987424a - 319776631642630044733480723984 )x^{10} + (425097446247654167385846742096a^{2} - 127233722699897496009485349768a - 480765700151669421234730103960 )x^{9} + (-244104402638442222646195643760a^{2} + 493566489877404723609966084672a + 324235953179975117594484930832 )x^{8} + (450536988477475054267281555328a^{2} - 404339026663470090086185036512a - 281757826636893513080200395280 )x^{7} + (567903427075662454305592051432a^{2} - 607303413447745938875910686664a - 310225228973706967872595808936 )x^{6} + (-230933292479894206903235771616a^{2} - 313094744001976354673285421232a + 334462430518793776059319853776 )x^{5} + (-629918667420599822743257907920a^{2} + 330622978961769520924683933088a + 195931812493766788454588600512 )x^{4} + (-580505827548798814731326658624a^{2} - 489706065368073183477598995632a - 481079679490288643911491723712 )x^{3} + (-129385991247809792495410140712a^{2} - 157338868399986843796789800152a - 588601783482018701202175253248 )x^{2} + (343129079542889411680174581760a^{2} + 466371130825881924927459261072a + 496197768299139135408242676256 )x - 606225205078660734184302256128a^{2} - 67844515433357891559860230744a + 104799684652048181902565506132 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary