← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.24576_466944_475136.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-146567298681448329185668892254a^{2} - 104867563765001020726228627440a + 47294023844609456463782393082)\mu_3 + (57573539920391564262446234357a^{2} - 23515971150448764460944376246a + 18183763765998543998495888568))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 - a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4)b - 2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)c + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - a^{2} + a)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a + 1))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a + 2)\mu_3 - a)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + a - 1))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + a + 4))c + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + a^{2})b + (-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a - 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((3a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 1))b + (4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1)b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 1)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b^{2} + (2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a))b^{2} + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 - a - 2)b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a + 4))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b + (-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 3a^{2} - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a - 3))b^{2} + ((-3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 1))b + ((a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + (a^{2} - a)\mu_3 + a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2))b + (a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - a + 1)b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + 3a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 3a + 1)b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + ((3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4))c + ((a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-135395915424165919910663618764a^{2} + 181807839884198740219639639696a - 240140922354091084385017637864 )x^{47} + (-343952307992892087005909619916a^{2} - 189533669795436500057341375396a - 201291368044323294550459343808 )x^{46} + (-307510551589503831845407568012a^{2} + 263752549956904809520959959156a - 537749614536118664455971243956 )x^{45} + (-584343019391263240650224556748a^{2} - 11238782840317896056114521728a - 253186702129659959975782350696 )x^{44} + (519849727085862716103684165736a^{2} + 174219573848351679414673029736a + 95323761249688190573962443128 )x^{43} + (-282903136304091801995169497262a^{2} - 218326458839257894384722378268a + 389355453056925625145398562558 )x^{42} + (-139078478645629423567562476128a^{2} + 282634703411255148094612031972a + 521262579403151850685821648688 )x^{41} + (-598662424677932786064032197668a^{2} + 630473947525255041465986685776a + 438157692975948256955376899052 )x^{40} + (-182081004090754807927015110124a^{2} - 388460959463309715801203579684a - 294474191994919349671268412740 )x^{39} + (566963496916209270761294365776a^{2} - 247136015853389114430407157008a + 62913437928043368639771922768 )x^{38} + (-607402013190069362973538441572a^{2} + 543912560150477015539710598896a - 90173735995363872990414702528 )x^{37} + (532446319095020850179676873040a^{2} - 308163188403559475732319674488a - 472876911293735814800996796100 )x^{36} + (335952647640080665360797018632a^{2} + 233206306330856565476968701496a - 141058574270585250421275192552 )x^{35} + (-465007634636992704436091304892a^{2} - 377666364646408463989827568912a - 514167858571163463795864492712 )x^{34} + (-91756735939714949482334024704a^{2} + 151323964953469587831204631484a + 330624771855840136968945500332 )x^{33} + (-46829674315964216629479175764a^{2} - 628552562988436374600977567480a + 524749964998273717315243078548 )x^{32} + (291012166141618747226346979232a^{2} + 271915429856300117213511696016a + 340777636213969045957417634400 )x^{31} + (-456547039925091418537271018508a^{2} - 182018239965443168135242087404a - 346948247734409973736874759068 )x^{30} + (310996537073203134761991182896a^{2} - 97241622796308629211280581976a + 275351965361528995395203627392 )x^{29} + (-104467532820902420573729001568a^{2} - 330588394848472489017885992328a - 280323203309758850518431229008 )x^{28} + (502821020990716700039290983120a^{2} - 493765786372021581963312276216a - 424811393243040695683187399944 )x^{27} + (264863870531539690794227051484a^{2} + 105694547747915789590949780668a + 391356601324873769310725977032 )x^{26} + (-182018354949262117274708842504a^{2} + 511284469046775679160130457784a + 294635076352094818376620490584 )x^{25} + (-545298792978445301572202624736a^{2} - 492092487778631834161043332340a - 506641896372631835691355105148 )x^{24} + (-141003565852317150401936248392a^{2} - 402409282806873587601426034088a - 125909382533608490343171579944 )x^{23} + (-597337765705596700776135048928a^{2} - 77559762986159892951529200720a + 124936606315489194743231054488 )x^{22} + (-564718202786162669148672568760a^{2} - 277046896707004134391029060888a + 32517828564155388444415621568 )x^{21} + (193565614563787944282282720872a^{2} + 406827803327892780254210632120a + 444495873010605399289164965064 )x^{20} + (472720869451645833886574709224a^{2} - 75801548018477742126560975960a - 158497288740606196820707366864 )x^{19} + (-429196812744104378653438745132a^{2} + 222860952549236588881644973392a + 421038473899146982887341584404 )x^{18} + (-138783787194300533453916054288a^{2} + 18158795182902104608916364296a - 319165466554633505581343296336 )x^{17} + (-386594172906918815507107684776a^{2} - 400232918587011786409603956144a - 306733486571754230003413546696 )x^{16} + (404872117060368018225918844016a^{2} - 126575122158745090200340358016a - 154586909012617358647855830736 )x^{15} + (-484256571123844312973289899072a^{2} + 546916188373775695620838438992a - 303493044065055816453851156448 )x^{14} + (78048698832634114093933417160a^{2} - 359819229011275025557433675504a - 573600773882672167716442826272 )x^{13} + (229520688697419847146346750460a^{2} + 56752929151213807505214283868a - 281639290919165807089130275768 )x^{12} + (-123716500930251468531409227920a^{2} + 411235377527475750351422730432a - 550620102314895602174121692608 )x^{11} + (83920595643877505036059766856a^{2} + 50725184074719225828629141600a - 403283143522655538006583515104 )x^{10} + (-548575027266442195937394642352a^{2} + 26109322867508919379125084600a - 16217880148502565263893673560 )x^{9} + (-554356353922873434394911174704a^{2} - 473144522650810027959108604640a + 150323210767575184291049702704 )x^{8} + (-286144722947670788882623769728a^{2} - 187591424604356814648884409952a - 125353292748271415700732690896 )x^{7} + (-287879392877641220938455052984a^{2} - 65684028411460300367045390680a + 164243852080847521457055582232 )x^{6} + (-571580164766215428085779700224a^{2} + 247629829088361473844032435504a - 402031375146837644468836393616 )x^{5} + (395393594429546959416443123440a^{2} + 169786578563743448039986303616a - 97984582730928346717327709856 )x^{4} + (7049979632233957774652379488a^{2} - 548018266277864905664871453648a + 285156381630968889209032209152 )x^{3} + (540852678741907830001509908248a^{2} + 600816758382976927559069665032a + 29785273918310591036516804720 )x^{2} + (20402822606707014220197144544a^{2} - 48883216326688390626742097040a - 446164835408367125543887228832 )x - 565765414157063904832786961216a^{2} + 81353448751265617849099786824a - 196618635672599928805941476684 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary