← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.24576_466944_475136.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-146567298681448329185668892254a^{2} - 104867563765001020726228627440a + 47294023844609456463782393082)\mu_3 + (57573539920391564262446234357a^{2} - 23515971150448764460944376246a + 18183763765998543998495888568))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 - a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4)b - 2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)c + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - a^{2} + a)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a + 1))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a + 2)\mu_3 - a)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + a - 1))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + a + 4))c + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + a^{2})b + (-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a - 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((3a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 1))b + (4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1)b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 1)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b^{2} + (2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a))b^{2} + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 - a - 2)b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a + 4))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b + (-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 3a^{2} - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a - 3))b^{2} + ((-3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 1))b + ((a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + (a^{2} - a)\mu_3 + a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2))b + (a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - a + 1)b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + 3a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 3a + 1)b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + ((3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4))c + ((a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-135395915424165919910663618764a^{2} + 181807839884198740219639639696a - 240140922354091084385017637864 )x^{47} + (461192532140984219184136549852a^{2} + 571854183086430801411120363836a + 162534294113153074228568842136 )x^{46} + (233284649724842201813200973548a^{2} - 589633977664578435029950579316a + 400568007857001795115580953316 )x^{45} + (589392874277851293917382834388a^{2} + 543801146152665412246865873728a - 459455331639773484113168371240 )x^{44} + (160496169231297298442713677592a^{2} + 114273072822746628669289299960a + 120093108579265964845632204056 )x^{43} + (-68742926706074430903274532126a^{2} - 510224052183767120748296031144a + 345935821066370623198414984582 )x^{42} + (-464799010532989164053432350296a^{2} + 41794492259849901366958572076a + 409677973098352421851059099000 )x^{41} + (478857095421577315796643101836a^{2} - 18915943546943754698784728912a - 4505566148402590719846763172 )x^{40} + (593037482093482775148995560724a^{2} - 453212940193187271573874954292a + 505948877132611686162421127180 )x^{39} + (420493320171721860209520979040a^{2} - 589448333771962137937681608816a + 605582745511488059202998962672 )x^{38} + (250758163869746625715329515604a^{2} + 312683373990765515577730959000a - 108337051131007771263592472816 )x^{37} + (-341391685268805965751632631416a^{2} - 2113952729929750569476472216a - 435450056617479518391098858492 )x^{36} + (-37299137562080415483518930184a^{2} - 331802975977566112950362515560a + 625508846421209298086061595736 )x^{35} + (-264722113810778580643028327676a^{2} - 533571291026404298817077403784a + 345277461711304342998182935952 )x^{34} + (578716237609774588841187224392a^{2} + 486221419999808844813549644164a + 601960918537743702431872755476 )x^{33} + (-561322099555506589554548017956a^{2} + 393335743881510555227432281288a - 53266025108962269991720580844 )x^{32} + (-609992962515064334286683085312a^{2} + 141156392874117542142346278192a + 307286788383135720229555054304 )x^{31} + (-451249929831630644002249863868a^{2} + 409683489704790842458930448676a + 71795167685941433987568680292 )x^{30} + (621699337178226428799476717008a^{2} - 353277276703536030958940983448a - 474471241907939426652048507008 )x^{29} + (-575949077877723232257452819088a^{2} + 321345253200307789733900200824a + 526039245399612851051240456848 )x^{28} + (-49905156898823502906222233184a^{2} + 438501353794011512417890639560a - 203007288231941345334462701608 )x^{27} + (-329500097606718426493350346292a^{2} + 458938265501214621009049987452a - 497449720463620721268858444248 )x^{26} + (178707658726552465815896925032a^{2} - 479261129653159920575151360504a + 112847011682569753178310376264 )x^{25} + (163193583233624086790106462072a^{2} - 394998424480453957878854217236a - 228030900389178437522754153964 )x^{24} + (-79360475942602283257299165800a^{2} + 363044787343543764291072758776a - 374656657170735798755505222024 )x^{23} + (-104284686123489411161241416160a^{2} + 92056256906799848094162892400a + 415445457469694306590905325432 )x^{22} + (-113765147354023529124513600728a^{2} - 135670149540791555932006832744a + 463204560073050849758003486784 )x^{21} + (324594280889354269059869509944a^{2} - 247383230707758101777427152040a + 469843049724842519629272608936 )x^{20} + (8524301553599029696744259432a^{2} - 25985788408043448176079698136a + 254806162070826257231325339312 )x^{19} + (-447768026246455419041257142380a^{2} + 565352676550578209756322871776a - 578524337879934827944363760316 )x^{18} + (92408512894861194045955044448a^{2} + 193823029464055089321735954792a + 299638490902989910705009061904 )x^{17} + (-208492169733819009237231103416a^{2} - 334800735298612161042706895568a + 57106691372793556606039047816 )x^{16} + (-290299458533576713955524417168a^{2} + 175007344139151709807780131584a + 89143015080806072700620922416 )x^{15} + (19014167317803176200480797856a^{2} - 163089069420825143174998278832a - 356549534539417677876234559584 )x^{14} + (444002229874908135442250643592a^{2} + 376845416041242711970113827152a - 604258512405260927001905997440 )x^{13} + (268656902358853398891346754268a^{2} + 139660566827540643933194464956a + 530953229412525023987237816312 )x^{12} + (-97284239577703331472883384208a^{2} - 107021493682073688022600233024a + 514403831976018433959288243808 )x^{11} + (-8024756504712197686732613384a^{2} + 377991489865050126757049463552a - 505671081903374620031595701680 )x^{10} + (514812808648196841445918436624a^{2} + 244509437321202969392180208984a + 200789857645628132135529587816 )x^{9} + (492833674700488771497662046480a^{2} - 411044477972382687694373939328a + 472668543492075255247874446352 )x^{8} + (-42729681419375844809669206720a^{2} + 590946510146861568228478107488a + 561142706912467291261578069680 )x^{7} + (-37292249046806472866937067960a^{2} - 244655426738047057334322955416a + 410313323037772895486457861544 )x^{6} + (447521484643096091520753864864a^{2} - 131369077257577170058933219184a + 442364180592600034051032675568 )x^{5} + (-158147411810867353054584760144a^{2} - 284472445826660035005897902720a + 280946976960273792132456151808 )x^{4} + (-453373468525289597350144856800a^{2} - 435142344462477358345911015600a - 106303425323680058456747592160 )x^{3} + (-462493534536433378177714663800a^{2} - 507864890267178151998436224344a - 528287080610475377757960064800 )x^{2} + (-416964193123934235080652997696a^{2} + 134336322790078183405221957424a + 51470922907986413767788396576 )x + 96171783887418060609958456320a^{2} + 48009373839688057506888563368a + 475421813020810989028142734276 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary