← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.24576_466944_475136.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-146567298681448329185668892254a^{2} - 104867563765001020726228627440a + 47294023844609456463782393082)\mu_3 + (57573539920391564262446234357a^{2} - 23515971150448764460944376246a + 18183763765998543998495888568))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 - a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4)b - 2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)c + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - a^{2} + a)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a + 1))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a + 2)\mu_3 - a)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + a - 1))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + a + 4))c + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + a^{2})b + (-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a - 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((3a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 1))b + (4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1)b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 1)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b^{2} + (2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a))b^{2} + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 - a - 2)b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a + 4))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b + (-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 3a^{2} - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a - 3))b^{2} + ((-3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 1))b + ((a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + (a^{2} - a)\mu_3 + a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2))b + (a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - a + 1)b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + 3a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 3a + 1)b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + ((3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4))c + ((a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-135395915424165919910663618764a^{2} + 181807839884198740219639639696a - 240140922354091084385017637864 )x^{47} + (-150628057093617111305507961620a^{2} - 347687022166623898565949287012a + 346656856160542323942525183072 )x^{46} + (314367783655967163700519177012a^{2} + 519829915265890739532236058940a + 201611774703589591383290678508 )x^{45} + (52588647876297192295788908900a^{2} - 471019148698347734609731859296a + 529261473955669656748569602424 )x^{44} + (-391779110509373554550120615528a^{2} + 321184586108780177192011287384a + 594763717089634959716496921224 )x^{43} + (-120620562340968924024314006370a^{2} + 285531059452098153474666175680a - 316472269300474966954929356482 )x^{42} + (559157268283803523578552927568a^{2} - 495570458461432858788440707524a + 284531933275332526021350210688 )x^{41} + (-121058339408536012694163910036a^{2} + 127863746239470157441889603872a - 358128752959628893502578212548 )x^{40} + (499550285496144906388782702980a^{2} - 289999409942624115878799271204a - 442708337186533549967192881876 )x^{39} + (-140425111813698001321548956608a^{2} - 469827338596878059542149315664a + 126909770406352774176224145440 )x^{38} + (86598640342387505790489240476a^{2} + 387262905285273746743744298240a - 417051695545718315245871138552 )x^{37} + (329401105587049290147805040824a^{2} + 108439672248746525776947306392a + 314748741101849595307079471020 )x^{36} + (478703282931198583871364957896a^{2} + 313954116096873779222224412648a + 213825767872497544985309952088 )x^{35} + (-450875843054629033148283839044a^{2} - 587773667793481830497102770320a - 580148814126952033070367234336 )x^{34} + (-548560788445113663018415109408a^{2} + 341081010230100643688034377604a + 299213137022476758538838925548 )x^{33} + (82601174749052290022471910892a^{2} + 69500335793457856417291682840a + 368788784155568818767544126388 )x^{32} + (92344394258543844980086232480a^{2} - 633494732898729477346121542736a + 234235798470422361420930821888 )x^{31} + (-396711929925013859762867216236a^{2} - 348841093799809141903107406188a + 569088313091214324648526832852 )x^{30} + (-615636604970874531280708951184a^{2} + 137340870775353645617521699176a - 113833837135488288744615992512 )x^{29} + (-117157581537232847339554445008a^{2} - 402419223301959376426802143640a + 139953644385757995692642180720 )x^{28} + (364946257160307653262652033744a^{2} + 453930521978867827509884312216a - 59257851625076578036353414648 )x^{27} + (-167943877575801061233727183972a^{2} + 308014497711269815827180170236a + 57794152858175370753580470184 )x^{26} + (190606553989198250000859314696a^{2} + 342813632319883258143054745128a + 416184741724650624401114908168 )x^{25} + (356870975838978060887271236136a^{2} + 411494011880830034802423577284a - 277899954158078633334933753028 )x^{24} + (-551040288612526364883286331208a^{2} + 542406908201714325599913893816a + 66272646875765210173998377624 )x^{23} + (83936127180688752976284355680a^{2} + 78502470804765186933301541712a - 201953404507624328677899813640 )x^{22} + (512104451160489587198344798616a^{2} + 255896387105132147186478509272a - 247779681779358312263190169888 )x^{21} + (-52590992598435038260265765960a^{2} + 276137137579325739479514206776a - 93002299643823354604894001080 )x^{20} + (613410510125184545785460258120a^{2} - 376644427617951792431665177656a - 564933354002465676413637570992 )x^{19} + (-411474676738336576553456336684a^{2} - 22182477361775021023968558128a - 181388657003404354606212203292 )x^{18} + (-571217485121655590852504061056a^{2} - 482993068725631433962422974056a + 45328975274345205032007115264 )x^{17} + (552578577684879345749172118632a^{2} - 216923124516609374315238531280a - 182090362209624963643337743240 )x^{16} + (277698549426022193729517520112a^{2} - 572401521705030845762327235584a - 595245215292057275597981868880 )x^{15} + (298565244742697845780029409664a^{2} - 298379809402367839312589133072a - 576232996500204267200004791360 )x^{14} + (-530568618913232692212808218680a^{2} + 250627837674780156314217551152a + 108862401565237405109140434240 )x^{13} + (-588254854163092518877329888868a^{2} + 369462128414390657920282259372a - 403731917580509150482022615368 )x^{12} + (38072398358612798847083645200a^{2} - 628210613682225774437723259168a + 87979726146111388609995580384 )x^{11} + (86854081477099730253022494168a^{2} - 55945924241298294976503334880a + 452435314834363824897998735072 )x^{10} + (631875070087852220732981882000a^{2} - 505924806451747790196275524584a + 56168480112985726288056419304 )x^{9} + (-114008438854232531127226730288a^{2} - 179102153915042664014256659808a + 110725185319734372682955663600 )x^{8} + (590633261552442444642997910720a^{2} - 279688067061734764307411696416a + 610881822887714045500500940400 )x^{7} + (-190378727389835731748160964152a^{2} + 234072151977073791493814143512a + 436686957912839684074346657736 )x^{6} + (105093180478600996007269632128a^{2} - 574922105949732234773470152400a - 61102712402392530398355627312 )x^{5} + (443822731118412928074288413552a^{2} - 434188924705148895870874893728a - 301058177779171138561179476960 )x^{4} + (25234056874426024645765970048a^{2} + 80902601564643415628463168048a + 110186931879126923404866228320 )x^{3} + (344068560361303604150109886696a^{2} - 418323651325562691274941635992a + 50950494623762419293864568816 )x^{2} + (-15665376829457011895095722656a^{2} - 628028753614953029622290676080a + 497217776241944681022959555872 )x + 591055785527998016794123637856a^{2} - 128681444806496329142443845752a + 488333415039230544090328432036 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary