← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.24576_466944_475136.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-146567298681448329185668892254a^{2} - 104867563765001020726228627440a + 47294023844609456463782393082)\mu_3 + (57573539920391564262446234357a^{2} - 23515971150448764460944376246a + 18183763765998543998495888568))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 - a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4)b - 2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)c + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - a^{2} + a)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a + 1))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a + 2)\mu_3 - a)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + a - 1))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + a + 4))c + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + a^{2})b + (-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a - 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((3a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 1))b + (4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1)b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 1)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b^{2} + (2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a))b^{2} + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 - a - 2)b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a + 4))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b + (-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 3a^{2} - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a - 3))b^{2} + ((-3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 1))b + ((a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + (a^{2} - a)\mu_3 + a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2))b + (a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - a + 1)b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + 3a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 3a + 1)b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + ((3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4))c + ((a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-135395915424165919910663618764a^{2} + 181807839884198740219639639696a - 240140922354091084385017637864 )x^{47} + (-13342605932718500433563293260a^{2} - 42804891042933224410232109804a + 29022678482144554975689681552 )x^{46} + (-30332522514559750931927678332a^{2} + 563300221882327399959344262292a + 339417287137685868203522645220 )x^{45} + (464082099483465930848063498724a^{2} - 411696364494954007895710580448a + 614793349707271239711570628936 )x^{44} + (432109060359693194215285647672a^{2} + 535330453719912790357266383256a + 73620716250493035287279958152 )x^{43} + (447299103366209297847454459906a^{2} - 192900980405592246232032532360a + 608789482312202907366161326402 )x^{42} + (-299967070290713011717153368336a^{2} + 632124121057412808323096959828a - 188801665191988499969118942328 )x^{41} + (-18883888587126698417443220644a^{2} + 267170646389172967113898939520a + 243553314547786703357339539548 )x^{40} + (-166829620811065786732375216540a^{2} - 418430671919083809953906132820a - 309101437208018797026822220212 )x^{39} + (-257123953137891511912528916816a^{2} - 493039787789914346538641418640a + 224624805948693881670581952448 )x^{38} + (347384306026833246456560896292a^{2} - 605689125484665993911712423392a - 174423436804564170307588129256 )x^{37} + (-335421392796790936863401444240a^{2} - 486651239649009153388259161616a + 502342724729838084380694433932 )x^{36} + (-58781497297040786275657066600a^{2} - 335170194558020036649860175368a + 394537227487185253830548323816 )x^{35} + (-293912566056964938418421588244a^{2} + 179411259803933360109592203880a - 75352526359882807051021514976 )x^{34} + (-508825160030322386414555387648a^{2} + 14994056363007639599530123564a + 533826980960416932255991898884 )x^{33} + (78964871193490335802261118972a^{2} + 354953692926299671893892737640a + 89830797775410461219444968836 )x^{32} + (-336963046041249038291752295648a^{2} - 179079538906927225098130775696a + 274749832089010760737598916320 )x^{31} + (13438723107392980650633301284a^{2} - 55174879971270062259871877356a + 421394915543190870478792753108 )x^{30} + (-319067580142920677479458179856a^{2} + 500322168204586662156597975880a - 38920657797290888830689902912 )x^{29} + (75154964583308108572803514528a^{2} - 207458470238399420191538235560a - 618373648856503394873641782096 )x^{28} + (-333553371065459298369414404400a^{2} + 282220367155639751400833280984a + 407177689176577122618608957864 )x^{27} + (346677602336997859577251214268a^{2} - 424074893856070085044824077908a - 71007562626004590865336794008 )x^{26} + (-587365115547429892212336716648a^{2} + 218994986893254273954036957800a - 578959537041057053290574827880 )x^{25} + (-528373807890155783477374518968a^{2} + 85162364276595813785910626884a - 591234137315941764156386374428 )x^{24} + (-96610747301406943964977240456a^{2} + 242474231007211476939202472472a + 497867711151997337091935029816 )x^{23} + (-404293011441606019110765902592a^{2} + 605405696238884429465976871664a - 546262897146658409218831841320 )x^{22} + (-618379775970312956899100636056a^{2} - 124662915093848662156264887176a + 351881317272677128042365291184 )x^{21} + (-57650485784699697875468653320a^{2} + 86915575617392768906601857448a - 25052043978334455267405220680 )x^{20} + (431986527910178035595828574536a^{2} + 293333181418005562099380271592a - 416119108458448094125110564368 )x^{19} + (-198470460629120140301951269356a^{2} + 95640286013505145747418736384a - 106794181061706320878582522540 )x^{18} + (-627254756491052615606262646464a^{2} + 306734541009550603756812089976a - 93141670357409681476127986000 )x^{17} + (143628621756661549342306564984a^{2} - 554914730928698842242210635072a + 372870393728698189132184935192 )x^{16} + (371440146147908022955007511536a^{2} - 587092984980659139342959857024a - 613192303612134498502021339344 )x^{15} + (-560301918901224701448676015808a^{2} + 93516236522897612631702808944a - 625543128584784425107742159168 )x^{14} + (420748860749240496769202889640a^{2} - 354304398027615221687417905072a - 448096867221088324969527607136 )x^{13} + (477134038907713369582040722924a^{2} + 105460209943454077348451625148a + 625918382402013128847218317672 )x^{12} + (-390925996258573757334560830288a^{2} + 208564696844800704818834382464a + 621730540992182510159466421024 )x^{11} + (564407323138416419110712655272a^{2} + 217594225878793958651398463600a - 478927638292471146774014122752 )x^{10} + (517231093303421105489670488816a^{2} + 85433236549562860715558651288a + 534375089103994292819300308904 )x^{9} + (311766898452280972957372038704a^{2} - 143213783492160607250508029216a - 59762350869478084902344011408 )x^{8} + (124501515101293881483577719232a^{2} - 563595698865285073511725049248a + 625897483706972775466914790640 )x^{7} + (76138726112901516281425308632a^{2} - 360957667009521918125170985208a + 336152003134053246486585728760 )x^{6} + (400445596048292059646556617696a^{2} + 145458236423749148860445844656a - 15408665950962916736836128240 )x^{5} + (-71002978195257724289553931088a^{2} - 562444355967811091067124265888a + 194013178730788873698833642400 )x^{4} + (-400330747479925346062432246848a^{2} - 281810347555394357744385780464a + 630988819825616233318232501792 )x^{3} + (480807668538407460369319231448a^{2} - 608688004195278514021589051976a + 492033816849217362111624815408 )x^{2} + (72143504724577140341912718528a^{2} - 515715426973052980421286529040a - 589833709202350983598635387904 )x - 70508778544786181670141522624a^{2} + 60241260658115249195057621304a - 260357362265276480525740441052 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary