← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.24576_466944_475136.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-146567298681448329185668892254a^{2} - 104867563765001020726228627440a + 47294023844609456463782393082)\mu_3 + (57573539920391564262446234357a^{2} - 23515971150448764460944376246a + 18183763765998543998495888568))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 - a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4)b - 2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)c + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - a^{2} + a)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a + 1))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a + 2)\mu_3 - a)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + a - 1))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + a + 4))c + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + a^{2})b + (-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a - 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((3a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 1))b + (4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1)b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 1)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b^{2} + (2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a))b^{2} + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 - a - 2)b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a + 4))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b + (-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 3a^{2} - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a - 3))b^{2} + ((-3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 1))b + ((a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + (a^{2} - a)\mu_3 + a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2))b + (a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - a + 1)b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + 3a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 3a + 1)b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + ((3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4))c + ((a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-135395915424165919910663618764a^{2} + 181807839884198740219639639696a - 240140922354091084385017637864 )x^{47} + (-617843945114067657317803484316a^{2} + 233635601616944331044215790228a - 282513383897946910596515637384 )x^{46} + (19278416002400177146184364396a^{2} - 331504917450342343537025200092a + 306419424074774968824150270700 )x^{45} + (585840395455875776762292293844a^{2} - 108264954488301374091222055712a + 461863654981644792704885330824 )x^{44} + (100155530599901689869746858168a^{2} - 539688637900504211589770754376a - 408144493854262990547621092136 )x^{43} + (268913345356015165506910472062a^{2} - 183567197648410096405160719424a - 462378609627561552267471858550 )x^{42} + (348835793436643757580204103000a^{2} - 181796381914601718630543863516a - 312815776501641085574567711408 )x^{41} + (-334296636476581354561250750724a^{2} - 422125128559703340376014028176a + 153057321634428526676709110588 )x^{40} + (384213195188703774566307388372a^{2} + 290499349609948037790608797564a + 292608081207691139903618818092 )x^{39} + (79819275625615104713467551504a^{2} - 606586012529639745097469720368a + 430553344466439687900411193328 )x^{38} + (424058233839673034173757478252a^{2} - 526731858210376790658044935640a + 177574948889824543323324738416 )x^{37} + (-417465465000145535480525092896a^{2} + 502033027787885339227907659488a - 424283503132286817355908211308 )x^{36} + (383648440556063622469280304584a^{2} + 229043870428753724639944205192a - 34624299950351325019915781336 )x^{35} + (40458970594729774506644449732a^{2} - 109842040082177017690895298816a + 356936202664763238356320080560 )x^{34} + (-582382995643133410449891429864a^{2} - 256590053609120493870097706164a + 286791500096331153451790892348 )x^{33} + (-431463964920808420577141951476a^{2} - 325056368587248065193767014344a + 413160884899069521088832982052 )x^{32} + (255876087887847315853195442176a^{2} - 544206020661245719614837587408a - 127523024931749949951177891840 )x^{31} + (176368870830430917908021095860a^{2} - 251733945736174706926459160508a - 119591532649166473044512398268 )x^{30} + (465047744577008841585486435728a^{2} + 306085187771782800995219316808a + 301439065402038161925816344960 )x^{29} + (-365691568621410808031908517280a^{2} + 182723218711831971212786450728a + 212213496570478351150424462128 )x^{28} + (-440068538138623879448458259680a^{2} - 521267938610638177829961758072a + 260351432578594192849755646840 )x^{27} + (-613676311723824555655292463988a^{2} + 273236316400749940449759575308a - 310394051926258421829150763736 )x^{26} + (-16968213955053772488935399624a^{2} + 228906160169283750524095113864a - 99290321282256123089353315880 )x^{25} + (-502126817111011558124912870760a^{2} + 63510526841621210771690947548a + 443799652631845345917938943724 )x^{24} + (-206401479469938353898585957736a^{2} - 25342621400828099872723340200a - 465827618738748569156265319208 )x^{23} + (622892821403544317005760164224a^{2} + 344904738467142430761475847312a - 54592098186519966068689737512 )x^{22} + (339545539047529105196275095640a^{2} - 337349074728026986966494043208a - 101566166032025483978911054576 )x^{21} + (-489890038766678896028276512296a^{2} - 87164125466378476200888611512a - 40114747239250998738998522120 )x^{20} + (-418064170369422073802275989592a^{2} + 522132015804342938672866845128a - 25074375118322902411447538800 )x^{19} + (-431098653050401606002297661516a^{2} + 101484980704117022370708440912a - 490431150027311951253083720620 )x^{18} + (-32621223465959717758635661024a^{2} - 302842420873355463559108922136a + 183969871252154178993474753312 )x^{17} + (-2443986909381442159921496808a^{2} + 205993916880265764413728662016a + 312711320296877648293767529224 )x^{16} + (-618231709560210534008858995856a^{2} - 275494686425759090727014507136a - 489269764093221713275725400272 )x^{15} + (-400302119244894407824686711648a^{2} - 146966429207554989269614402032a + 382796725114186426218793748192 )x^{14} + (-613083104817889743639867617816a^{2} + 78023897020744637803581397040a - 53297756248467535404225601824 )x^{13} + (-158165384591786266558742647380a^{2} + 296420123996458686409900234220a - 457326594688964921615386434968 )x^{12} + (333571251285246832823472810896a^{2} - 337271295428335100363527642528a + 596698180217332965311733319136 )x^{11} + (578961292485601393624115443592a^{2} - 311585049302008194112942737136a + 78941982359853452255560784848 )x^{10} + (406127053544668235536466199664a^{2} + 552845149459520533233859971096a + 416282228109191613934221625192 )x^{9} + (-353573845691102198386954203856a^{2} - 550808234257961215888134386688a + 565920528035025796688678843472 )x^{8} + (386840533069513128627619661888a^{2} + 538454511411425339920106792160a - 52022354572590068351493880144 )x^{7} + (360835009684224299915214450520a^{2} - 93799063414527275152271050952a - 284506812489018015671045342440 )x^{6} + (276855613450601752221728234048a^{2} + 121813102200124266406884979280a + 577583055665787886287553089520 )x^{5} + (-309459308098255354768311787024a^{2} - 145847374212807760516098358400a - 295019290340753439188580753792 )x^{4} + (-298272294440672254961209192544a^{2} + 357884160911775860716352093552a + 177887541547381861870903702624 )x^{3} + (-621377207339247213565853822216a^{2} + 108307959743489149134712174264a + 253577492473055677434855110912 )x^{2} + (-151866783651792740896216099168a^{2} + 443447021708563673777295156176a + 13373113245797580207923861120 )x - 541109376083554721397743290432a^{2} - 88796744121008056356522873608a + 595865360003747650513603403524 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary