← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.24576_466944_475136.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-146567298681448329185668892254a^{2} - 104867563765001020726228627440a + 47294023844609456463782393082)\mu_3 + (57573539920391564262446234357a^{2} - 23515971150448764460944376246a + 18183763765998543998495888568))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 - a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4)b - 2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)c + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - a^{2} + a)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a + 1))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a + 2)\mu_3 - a)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + a - 1))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + a + 4))c + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + a^{2})b + (-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a - 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((3a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 1))b + (4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1)b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 1)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b^{2} + (2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a))b^{2} + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 - a - 2)b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a + 4))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b + (-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 3a^{2} - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a - 3))b^{2} + ((-3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 1))b + ((a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + (a^{2} - a)\mu_3 + a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2))b + (a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - a + 1)b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + 3a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 3a + 1)b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + ((3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4))c + ((a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-135395915424165919910663618764a^{2} + 181807839884198740219639639696a - 240140922354091084385017637864 )x^{47} + (476980080855233443663586759532a^{2} - 217508899112592506755848758668a - 488603352039403704927977530128 )x^{46} + (179812919194477070340815536004a^{2} - 218740985044980381775238991012a + 63437125187598942196890357284 )x^{45} + (-478381856376765750613911537388a^{2} - 481941766157285054008669044960a - 482105812652161443588644699064 )x^{44} + (-259222456656908880616876044152a^{2} - 202931709484336126590403437656a + 307101834490566523205339492984 )x^{43} + (199750907965461009353941608910a^{2} + 529939206838682634514644139364a - 324554586637407915032171947054 )x^{42} + (548606576196475831552101296960a^{2} + 135857851174404174870375530540a - 392661589510490816041784121544 )x^{41} + (97428621785013375905937360300a^{2} - 487951926050705843593628910576a + 549504620294587162991214895916 )x^{40} + (-328202601385110357505322566124a^{2} + 124291987734860645955813596716a - 118786127781555610175168151364 )x^{39} + (546267618787456126810768018336a^{2} + 451215017862324289905698095152a - 192438592696421181359865814192 )x^{38} + (573539224205028161044436797956a^{2} + 216980076054128105842466365360a + 262500897672158936342219787008 )x^{37} + (468593957262376730843259858840a^{2} + 185345266147980607465339578464a + 64131338915318325183921341980 )x^{36} + (435001700891411338398141834392a^{2} + 472082232911808929679978934568a - 480940480155359487904237737720 )x^{35} + (-207511374276309034138951513948a^{2} + 290787614929767282391429772424a + 408125915995672873086951980008 )x^{34} + (-315029435178020225882261243520a^{2} + 614416110824364177060523579476a - 403345636684643536589018648412 )x^{33} + (429037467082514471200544908348a^{2} - 86668047723133387898608042504a + 416855763682255238599913720740 )x^{32} + (440712208648905386117557474912a^{2} + 456604756703179243252637565840a - 406761700026762985460424429824 )x^{31} + (85791702823296077254169022532a^{2} + 179767311058288368110099913684a + 138548506841016364051798133508 )x^{30} + (286206487689974700693340156464a^{2} + 337880068811646252627513488520a - 535865983303812702304935803264 )x^{29} + (476221594181047608714856131696a^{2} + 367474903150686142041227638120a + 77058423475365226235815484080 )x^{28} + (350949282035539258579506002256a^{2} + 252501836289882327597585960328a + 280966215300606235762829622104 )x^{27} + (498651523696208485898189894684a^{2} + 605175474200373625239628702252a + 266879870833825527189817365544 )x^{26} + (15082008603803280682950134504a^{2} + 630933803176285607197243257240a - 110629826875125853805825037624 )x^{25} + (261038757898907131833395213872a^{2} + 297435709060501287624055890556a - 477011343326713285085451474820 )x^{24} + (-549456052552842690728722746248a^{2} - 266998904773205629971594687112a + 271282939272401584049732115832 )x^{23} + (332564514246070768967360273792a^{2} - 58343681262978475009451283184a - 458017409626766262841137247432 )x^{22} + (404298544120184468833666030136a^{2} - 313270929028933399974230111832a + 570353888262171366387739051280 )x^{21} + (175359265423084881864867698984a^{2} + 541224071871788996291093693448a + 110979976657898453231300515448 )x^{20} + (292181870784950499595584291048a^{2} - 558482010340182134061932968824a - 71724612524304021173133235504 )x^{19} + (-528910734662483919340527021420a^{2} - 63972711679339142814089531936a - 190565339925692232428192599548 )x^{18} + (607259931734398188260296901776a^{2} + 227142221140705630951005208648a + 197903076340023212970229696320 )x^{17} + (-80605027582765664701071700280a^{2} - 290439289885693198558242634592a + 307146450243443901939716361816 )x^{16} + (518350222773731332175930014704a^{2} + 491768782740554526223333872768a - 438606223799536897354612896720 )x^{15} + (-63100435405853959898234395008a^{2} + 519994373052247138285981306128a + 320355809772829054081868511328 )x^{14} + (-4222049407667533740845651928a^{2} + 199307960863420154748052776304a + 316831356145626895938688157568 )x^{13} + (-283906432703990580809988429300a^{2} - 464294098186299534802155927028a - 350637522447152862609553449640 )x^{12} + (-368187267044808118655128332976a^{2} - 194769601202233135240780245280a + 1687301114516604606353470592 )x^{11} + (552986438255397097966556037368a^{2} + 377539576750630748399590798448a + 122010017738470095064294426688 )x^{10} + (271795868609105428847255022896a^{2} + 507767724242705372200328058424a + 115405451561924365993505244776 )x^{9} + (394266640312970014433575325488a^{2} - 325349907197329150575288644768a + 151188230683849779561668238832 )x^{8} + (538192295998716280953096471808a^{2} - 565514715383816786749053663328a - 56162389791287534124488649680 )x^{7} + (28902746917249529570155040344a^{2} + 235625228731750144969323250872a - 198527590858443636820236962520 )x^{6} + (-406640172961894008146684926496a^{2} + 158709512911164035110298617648a + 557989736241258182282328698224 )x^{5} + (99320572689813207957700566192a^{2} - 409732760283539500468640481280a + 56378075340893149107605001440 )x^{4} + (-60409975560965305069769111840a^{2} - 44791631608900929328807166320a + 378120875477487385326079128960 )x^{3} + (599921344724013040922266642856a^{2} - 360554955017840854638689314472a - 256911758616449153830986048464 )x^{2} + (458196434441669530119803013824a^{2} + 471810546321494904627466180112a + 81920162537006511416834594560 )x + 329104754926740350199320411392a^{2} + 599210635999151235485811861752a - 559249505429386962999042249772 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary