← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.24576_466944_475136.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-146567298681448329185668892254a^{2} - 104867563765001020726228627440a + 47294023844609456463782393082)\mu_3 + (57573539920391564262446234357a^{2} - 23515971150448764460944376246a + 18183763765998543998495888568))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 - a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4)b - 2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)c + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - a^{2} + a)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a + 1))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a + 2)\mu_3 - a)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + a - 1))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + a + 4))c + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + a^{2})b + (-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a - 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((3a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 1))b + (4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1)b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 1)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b^{2} + (2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a))b^{2} + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 - a - 2)b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a + 4))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b + (-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 3a^{2} - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a - 3))b^{2} + ((-3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 1))b + ((a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + (a^{2} - a)\mu_3 + a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2))b + (a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - a + 1)b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + 3a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 3a + 1)b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + ((3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4))c + ((a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-135395915424165919910663618764a^{2} + 181807839884198740219639639696a - 240140922354091084385017637864 )x^{47} + (-470427715838444408987683175988a^{2} + 336338425612563446270810030756a - 281538769185033633234797883832 )x^{46} + (-132706871753584378631094880356a^{2} - 168612752737766680467040164740a - 344890082035069122425308243540 )x^{45} + (-608196376871973389331464449404a^{2} + 369877051554089418538051784320a + 351357219561251300774673219080 )x^{44} + (-140548443856231498443758918072a^{2} - 269572501785515314661319835512a - 478340690992007963026105957432 )x^{43} + (-612995956783780568048375467318a^{2} + 312335221492907278540577913772a + 476544441418135000610167176642 )x^{42} + (47675247998912028680772696408a^{2} - 390803009933086756885183509236a - 348076552654490484360457321600 )x^{41} + (333521842781582289457353641068a^{2} - 555346615180248926210138216064a + 232009346425535072572096711820 )x^{40} + (88347719584272614671222353444a^{2} - 528455872582549259628924917828a + 476546029337832868956851697436 )x^{39} + (306837662927260725599235551040a^{2} + 153750943064858643852145296592a + 212630987293235231489870766016 )x^{38} + (168643795200410117773680251052a^{2} - 403630036098725157224291448a + 626049977931875622016059241320 )x^{37} + (-243761668790810846442550127848a^{2} + 354232695824621018131802292992a - 56100560204727484694783834124 )x^{36} + (-250548764537344635320335917144a^{2} + 443445198972349806415325842872a - 40703290716685688721879006936 )x^{35} + (-242368668709821993173948919380a^{2} + 500325349225462599725378214624a + 32582586682949866821636659736 )x^{34} + (-459478337228528294128041147704a^{2} - 411302049018015496598611617116a - 123298765471626142521724434628 )x^{33} + (-23031478536182747252619065620a^{2} + 139416942610725190245514068584a - 296563126193826815404162877404 )x^{32} + (-309092079638657338828955338176a^{2} + 405724197222404620740507744656a + 362367412160199857379718619168 )x^{31} + (-532166150301107510547676976492a^{2} - 381624128926972873983003639900a + 25324144940511661237944980884 )x^{30} + (159356249196641522165061676176a^{2} + 314483199894464363465597034888a - 85601710756909418029347416320 )x^{29} + (346981345241668557578324571024a^{2} + 366929565740399317570826059224a - 581988737411581769913978762352 )x^{28} + (572629805623128555672936411936a^{2} - 398125613040885066683495932936a - 387916836071278903693100953816 )x^{27} + (509254092412138064327025549964a^{2} + 372005386231443185525416789964a + 580988175394486232766829932456 )x^{26} + (279227952339697785374617187912a^{2} + 12864883850397838827952654936a + 247555455877358311220323805416 )x^{25} + (-385562908739373752425655607904a^{2} + 512041992064148829776182705124a + 467577160768016492996980458212 )x^{24} + (-196407610851456529325507657640a^{2} - 544163718389273829406241907976a - 474158141491892458853638112744 )x^{23} + (-629808229357369115727885112512a^{2} + 147597398320598749423137957488a - 4757277596104765996823712584 )x^{22} + (-36020876626789595736900052312a^{2} - 282544267492887298826313427352a - 355998791086921907760192879792 )x^{21} + (-69404036646824964363668532504a^{2} + 430693564000228295396839261704a - 249162241421455785919623770504 )x^{20} + (39218118126336637481650842376a^{2} - 523000159483259024117114548568a - 175789453072801826300063086992 )x^{19} + (-446232506287692614292091017580a^{2} + 22704061957622780304532851792a - 627392425674902524394372403068 )x^{18} + (-551219765999830978014494577872a^{2} + 621068456356265223269008906968a + 29614983696501930091131871088 )x^{17} + (-472900528437556424962416227448a^{2} - 410466918716218336257445059648a + 250716034909896118243770146152 )x^{16} + (414685109120861389397022784496a^{2} - 580068459008147003851551579264a - 50858392644341115027118010960 )x^{15} + (373416087589663547146340791200a^{2} - 144232596209839692393915693072a + 281679126696995642793659857792 )x^{14} + (-372343692430968103913794179800a^{2} + 154997154114771231179143055184a - 285911673894302365958224125184 )x^{13} + (354545122180063542265508253868a^{2} + 207559277958886777229005102204a + 439447350801692051803351428792 )x^{12} + (-286827942628484999310963832720a^{2} - 170870805188432620532108800384a - 57687330055440217314365035904 )x^{11} + (336636004312886353980691368952a^{2} - 338474941162238410324193615760a + 502119232040329856394676124592 )x^{10} + (-476125694537375434449851438672a^{2} - 431959222271855350109630423368a - 231391615171833961278604231448 )x^{9} + (-574574103635413569414147295824a^{2} + 560086842611352527197546464704a + 629355272779881017402091392656 )x^{8} + (605196973113746755789025993728a^{2} - 631227750672975429785845148128a + 597634623371443513920597823344 )x^{7} + (578457229492350927227152520056a^{2} - 434307236936789533960327673752a + 501974092509608020952745493672 )x^{6} + (312157470948842173106732330688a^{2} - 630345518664327283931734769136a - 360881082202310711581408362992 )x^{5} + (282317416759434607295072365936a^{2} + 221374522534076904641610541344a + 587063177789917192204402505408 )x^{4} + (131405290125251015351868052480a^{2} - 101101570315830743244836456592a + 77766673679291499141895137088 )x^{3} + (-67996782057522793027728221336a^{2} - 167255261247476014509365869128a - 469752511424060687461383648672 )x^{2} + (522177559814055516824818570720a^{2} + 53797101550694320495129309296a - 264000243538585092407595144512 )x + 387937617489455039017795394400a^{2} + 148414625445522409198406559928a - 83482415305469167209580490252 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary