← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.229376_262144_491520.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((103838377683031915502795146236a^{2} - 61174766308126885223263275176a - 72418158842366714842018722698)\mu_3 - 95934129992815479302963098944a^{2} - 143228153837424935766745492026a - 68816932454631393881201681879)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b^{2} + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} + a))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b^{2} + ((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2}))c + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - a + 3)))c + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1)b + (-2a + 3)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1)))c + ((2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 2))b + (2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1)))c + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2}\mu_3 - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a)b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a - 3))b + (4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 4)b + (-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 4a + 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (4\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 1))b + (4a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3))b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} + 4a))\cdot b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b + 2a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + (4a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + 2b + (4\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a + 4)b + (a^{2} + 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 1)))c + ((-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b + (-3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-552201840490422223779510275648a^{2} + 207320711038593929050962184712a + 276121562233444136475626220020 )x^{47} + (278337988226612162466131659424a^{2} + 388068961608508735898172728616a - 611473507102384333708704381644 )x^{46} + (-572473272349295832805881221280a^{2} - 11771411340752118746701595612a - 443172541646587572749493237772 )x^{45} + (46802963278922049234226074616a^{2} - 336417391564873609096321881216a + 299220954733339711495074433300 )x^{44} + (562882379424047972986402998032a^{2} - 630510820531349846534271802624a + 159360432815299401564306107816 )x^{43} + (479560781507393150953901730688a^{2} - 270407505622728942376974492268a - 296596702375023368649094086858 )x^{42} + (109791317962832749145094458792a^{2} + 595259360299172642578576803184a + 181302654219933390815398891444 )x^{41} + (126271524331392521307785840272a^{2} - 359120591833117664438930687640a - 300982674786741780068119717000 )x^{40} + (-614504174025733051711040818488a^{2} - 174342276862202444167820570696a + 231922620455925458385392036020 )x^{39} + (106291314424498318089889808040a^{2} - 486918305656786499905903318488a + 353736721447668075994101847408 )x^{38} + (-344143084813015610449272347120a^{2} - 560739739742472649084732085512a + 466141836069103534500996713444 )x^{37} + (-45097085718210067005597724720a^{2} - 252396039654173002761451272216a - 247624152476648603500579115792 )x^{36} + (-65523529898731750051146228496a^{2} - 320815254030072384591434761960a - 262011502227571401607995757112 )x^{35} + (-614878244834361379103544621152a^{2} - 436151285979515830594175277776a - 588919462660269560992030038460 )x^{34} + (633229474321068497942844172008a^{2} + 48055973071930414133533592936a - 574721438905239404045899599780 )x^{33} + (624618687002830485870795085856a^{2} + 147995141558005746671662993392a + 464923352321510647066181916804 )x^{32} + (-222543453814122842165434034896a^{2} - 321628935497083497235145791504a + 464655927131607367990122210400 )x^{31} + (-13504562196495474377314963144a^{2} + 19616491748419579329853719296a + 551748924096655911789600651720 )x^{30} + (340959767110223418733968754208a^{2} + 173788016605578874702927144264a + 263822355819859941685841544504 )x^{29} + (-289086574776105185801021820344a^{2} + 62855093571645978396218298600a - 283417628230798073495004593120 )x^{28} + (270354744560927324637082235408a^{2} + 457016731187692916295685728440a - 274362435019259182841632005280 )x^{27} + (-512537729726891019879259551392a^{2} - 100489357278527692885730772200a - 5346432480418105098269082564 )x^{26} + (-222535488425091163621725192072a^{2} + 136885410216135973075543067576a + 85055116823783810154329850704 )x^{25} + (-510095019959825238314517012376a^{2} + 386309597452877052986602164640a - 367753637176863625016088034776 )x^{24} + (138900006838471084736795398464a^{2} - 286371346755254633825249765664a - 614182707995937569551882754832 )x^{23} + (-329397092434924482406493118848a^{2} - 535596408717630391556801170496a + 161648223235747297396929594912 )x^{22} + (333638327957555951248307234256a^{2} + 416595759318278906102152762040a - 570363328146745631957895531744 )x^{21} + (-159911320257415219299291315360a^{2} + 155270104197485891099689717280a + 86449557661062677651085276880 )x^{20} + (8888263132925422264508714832a^{2} + 265842340409961297087981622112a + 469756953731292478691088362392 )x^{19} + (91377138833833110901199723400a^{2} - 204877162476121065931284428864a + 187485099323338979675813692596 )x^{18} + (173930769824640694714212099008a^{2} + 230708096629828293831351543184a + 468286037765457398641685653192 )x^{17} + (564329882489454419237097997280a^{2} + 445945982640251767176496714336a + 338515133521998923700204273152 )x^{16} + (182758347670908661119523759296a^{2} - 310748784235783344565259836256a + 268605564020119959767806143792 )x^{15} + (-569005310961427014973516176912a^{2} + 369698152424673645584659300896a + 98492762624527946556561200672 )x^{14} + (369571654829881185629227951744a^{2} - 469993838010441685077132929232a + 89107519420721253184420593272 )x^{13} + (-504391164367591571140976485776a^{2} + 549281502618105340731096413104a - 512300677480072014824298776604 )x^{12} + (-488608129851766114883855211616a^{2} - 189335922095645095695301403072a + 117553379589709573205625664896 )x^{11} + (-195434709068015425570146657088a^{2} - 502375555661550081653473815648a - 284223943907002114283192213704 )x^{10} + (130157810478590388431440271168a^{2} - 495643950429924235290951558608a + 598268983477384564468490199064 )x^{9} + (512486134667013820771191871200a^{2} + 479902437067350368846183151856a - 11271028044492360670098042976 )x^{8} + (-357028788397584704409611300272a^{2} + 505790200864376784178503076944a - 235730406319627808667449973280 )x^{7} + (509819584736945917930839503120a^{2} - 412291024187470647837109008464a + 330047999278846786696898457472 )x^{6} + (-451352273655437770913081715008a^{2} - 92850108576458960081681030352a - 188733559983597332578934148912 )x^{5} + (185896488623159803278265040880a^{2} + 325426431606823894586425503248a - 455221652304523346556878075216 )x^{4} + (-175713209209147605245147533888a^{2} - 284686400434924846282214851840a - 45448082790825094096141713904 )x^{3} + (-574094828485573868448431249232a^{2} - 27212365788416411568203589120a + 529672479464073972163592801352 )x^{2} + (165257657913090557882983502128a^{2} - 487798651817186887995659844560a - 34512280116500987723679724816 )x - 319552114457899969092548424464a^{2} + 429972426247834132593579313696a + 302244664520547516189008835820 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary