← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.229376_262144_491520.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((103838377683031915502795146236a^{2} - 61174766308126885223263275176a - 72418158842366714842018722698)\mu_3 - 95934129992815479302963098944a^{2} - 143228153837424935766745492026a - 68816932454631393881201681879)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b^{2} + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} + a))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b^{2} + ((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2}))c + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - a + 3)))c + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1)b + (-2a + 3)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1)))c + ((2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 2))b + (2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1)))c + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2}\mu_3 - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a)b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a - 3))b + (4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 4)b + (-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 4a + 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (4\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 1))b + (4a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3))b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} + 4a))\cdot b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b + 2a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + (4a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + 2b + (4\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a + 4)b + (a^{2} + 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 1)))c + ((-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b + (-3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-552201840490422223779510275648a^{2} + 207320711038593929050962184712a + 276121562233444136475626220020 )x^{47} + (-573018136692632335379173532752a^{2} + 409193503429675329599162342560a + 488905973117167208650437398284 )x^{46} + (-71227510695103634676523677048a^{2} - 41814966628803384403677564924a + 9592513556578522704967672980 )x^{45} + (135417080684616144741128176376a^{2} + 265239717581687214627723209184a + 455451517524903510238967962228 )x^{44} + (517522303870724691690139562144a^{2} + 449926456331243363275611662864a - 545616594404181877413200348616 )x^{43} + (-611822994489702078949039218948a^{2} - 240750481114661864976997135668a + 315104163831803715636179393074 )x^{42} + (196693174095284872908083390744a^{2} - 400440403977192128398439400240a + 40919028240252317463751035556 )x^{41} + (-349837416889924642120444515984a^{2} + 92714897073492417640435461624a + 414031196198432223712856674584 )x^{40} + (-579387274074186401216030658584a^{2} + 573272226521667723412317350296a - 21095821922270713093475211212 )x^{39} + (250072056285289862034605279128a^{2} - 606337209380203092350304841448a - 15111815618654279462970709120 )x^{38} + (-328471679968548696784794280088a^{2} + 559826840579635917164730297592a - 246393622858673724282955538020 )x^{37} + (485464526950059148563240746808a^{2} + 49140277892769742762907558920a + 523614818459650361583059077976 )x^{36} + (-299110846942899147407547758080a^{2} - 40999170479663781015476966872a + 32505156786190503036041130296 )x^{35} + (414563002199675096052269874568a^{2} + 251107451213931399937765051200a + 467552480257823893754930702412 )x^{34} + (595140233975958043834069421888a^{2} - 271525048049138592417758377656a - 527582592482181895569975303068 )x^{33} + (51630817720607434583023532416a^{2} - 403055955081941395559027855392a - 559317843262796442925759879836 )x^{32} + (-8231556592156935163445922768a^{2} - 348500263593057881817961252528a - 188878877457872337570640437248 )x^{31} + (-263545362095975408407512190248a^{2} + 101408013438145716312333056592a + 8626004080698358647053455768 )x^{30} + (126182962714151157053385006144a^{2} + 150619579473186168156416240776a - 65718478379076138842268905544 )x^{29} + (539356854345556444980961267192a^{2} - 580250455023020289487775195304a + 373756772385490752480239823568 )x^{28} + (-548378132581428796652024674320a^{2} + 335175361413194693501554136808a - 222707172555433963189635860512 )x^{27} + (439670823064833446298358139392a^{2} - 92596574887282854179175305400a - 206777426358504028533341284436 )x^{26} + (-211625027886667843897174023944a^{2} + 593906981864114237067341186776a - 386128853383154091122166028224 )x^{25} + (96597277766433878640487231344a^{2} - 70770255345464230517048365584a - 217858020570585143636406529312 )x^{24} + (-1745348655222809739032815392a^{2} - 616195245096913581357522688736a + 130334595336002703179017522064 )x^{23} + (228370690403167521596433770768a^{2} + 460882151363798475001305415408a - 412542695516666129079886652512 )x^{22} + (-543768582789699252751494203584a^{2} - 270213049587118930979512280968a + 270010198692766740392832630096 )x^{21} + (-371549152878996583470635442832a^{2} + 241344097245251942738017516880a + 337862495250962642937250194016 )x^{20} + (398853296955333572129935108624a^{2} + 274507490835603666678957717344a - 549823494584992772049466344648 )x^{19} + (-69049776921232398392826889528a^{2} + 56672286856110013481459092656a + 165263307327835335444217374052 )x^{18} + (-225906798649218886647809054064a^{2} - 13171809598864480134978097392a + 617690562845060086365335867384 )x^{17} + (69818477801012408748983208848a^{2} + 533162760671614750919783283392a + 138140777624591405758181094672 )x^{16} + (-355900922601462044086278232704a^{2} + 279188785957529634721466588768a - 600714708859131087327608544720 )x^{15} + (-148053421536848531857757813872a^{2} - 483257469954963418372422874464a + 431912414121652560520193385760 )x^{14} + (-359471581651352741682763764672a^{2} - 101146755662590995758710841040a + 107336231578645279420491559192 )x^{13} + (6175024236461596486078072288a^{2} - 340563658003562125333516214032a + 522849823428651290669730684820 )x^{12} + (237421651518714817283057469600a^{2} - 139841977563658907695554006080a + 223205952447791952117091919232 )x^{11} + (-182232546038478475786582400800a^{2} - 76385958009501086012694021440a - 612302370536966729692631684872 )x^{10} + (602351675179968480245474379552a^{2} - 233117065306899806030743112656a - 163247662631954234901307514536 )x^{9} + (124457496882781953221428432832a^{2} - 336189448550805394533168491056a + 297504014828524351667209211392 )x^{8} + (529374437364202337189897750992a^{2} + 371073542949779872897926402320a + 198616425153866879049022415392 )x^{7} + (135270808687404777245102466448a^{2} - 546462132720602178509196556272a - 205996908364032632862156033664 )x^{6} + (-22390173328814644747946360128a^{2} - 2129076325333677139876101968a - 451341039328548282932055184080 )x^{5} + (629493476371277460134955673200a^{2} + 431128931034627553994634634416a + 437279068146609789282752679792 )x^{4} + (-526656754396213459913245523488a^{2} + 101339372254697792768993427520a + 75709318979221612470815880944 )x^{3} + (-36845097895503707600323742560a^{2} - 268901801159051943736877363904a - 370923507939242775777048946088 )x^{2} + (154435238084181824887974108432a^{2} - 232132113850003718703128419952a - 575337442145101605681228801456 )x - 40836989978566435600177613152a^{2} - 568948392065358482075293663408a + 518443701791587443502224109116 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary