← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.229376_262144_491520.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((103838377683031915502795146236a^{2} - 61174766308126885223263275176a - 72418158842366714842018722698)\mu_3 - 95934129992815479302963098944a^{2} - 143228153837424935766745492026a - 68816932454631393881201681879)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b^{2} + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} + a))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b^{2} + ((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2}))c + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - a + 3)))c + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1)b + (-2a + 3)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1)))c + ((2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 2))b + (2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1)))c + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2}\mu_3 - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a)b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a - 3))b + (4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 4)b + (-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 4a + 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (4\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 1))b + (4a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3))b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} + 4a))\cdot b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b + 2a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + (4a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + 2b + (4\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a + 4)b + (a^{2} + 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 1)))c + ((-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b + (-3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-552201840490422223779510275648a^{2} + 207320711038593929050962184712a + 276121562233444136475626220020 )x^{47} + (-385523614700288801061200212296a^{2} + 266674767348017811806647056144a + 42307540257465185581036043500 )x^{46} + (243333142851732243697178406248a^{2} - 418058102421479033302042032116a + 321787369295845663155030483060 )x^{45} + (-443325394202462111075350067720a^{2} - 616494789338745100180901892384a - 379270526492400853654194307292 )x^{44} + (-211436711935832042926281248048a^{2} + 238662349647227132154115821552a + 180925900777682262522830086312 )x^{43} + (90611721712539578026920430960a^{2} + 533120250345770662179303516488a + 245273905003618343424003399646 )x^{42} + (341436878463329793685773078216a^{2} + 117856132858789750989091892192a + 461340832243212102151716103908 )x^{41} + (-335658962826797898664215567264a^{2} - 441481594833443404427070021064a + 528929992893615645584794080152 )x^{40} + (221113018998583542877854820200a^{2} - 340805588818136632754962610056a + 542992548674221686585878325236 )x^{39} + (321851550246452669565101567768a^{2} - 84889420877343786501863230008a - 348146130183696412675002637488 )x^{38} + (-379158725266806341782951698320a^{2} + 146713028143368614940425618704a + 368590412406862206072438823716 )x^{37} + (438739768839272206265752104688a^{2} + 276867833830711511882093762592a - 235029633656924875791061377552 )x^{36} + (539066154802956608549567689888a^{2} - 202897813520086890564970158216a - 266485789101649318382718202552 )x^{35} + (212382207322422017470600980416a^{2} + 345813644815341342237321856104a - 504768263198675576942635131692 )x^{34} + (-417075089822189360397161485352a^{2} + 477034748101159312843390118848a + 471097880783419936920681085452 )x^{33} + (96966326077970069362684379920a^{2} + 385347895772662049415142457664a - 165459485817876922952226481820 )x^{32} + (584602389186232279452994303152a^{2} + 152618539222703639458227108624a + 459202562663418969118312879968 )x^{31} + (612296541522352922348728931752a^{2} + 400118518632936409082077343568a - 412534452036680232358705553160 )x^{30} + (-205604096398400268043715524960a^{2} - 198578684371656728904972058392a + 146977797557847622286933622616 )x^{29} + (146713690926825731728397592344a^{2} + 528420016148405761386395572744a - 558595039043687378722645324160 )x^{28} + (604729806440875074382809910816a^{2} - 316404905631935776557670734360a - 608664850357259648398702696832 )x^{27} + (-450028452623015655296402102944a^{2} - 428903375513753082390459306296a + 230471434467756934282706530940 )x^{26} + (-44115096002813651243158847624a^{2} + 62168086001790366174102135256a - 631362134525410949600323669632 )x^{25} + (-333246760314897542032820921768a^{2} - 553334087488295183654768015784a + 176072527713217337933551643000 )x^{24} + (-337686438670515214187503796096a^{2} - 435991358850026960391663520192a - 206044586376624559202954991056 )x^{23} + (-225239388955537787636769898928a^{2} + 23124145516178364740445603136a - 357300276022466897087337000752 )x^{22} + (265746111042636231759213380624a^{2} + 422439648705092067511916685608a + 496361614807202263186665468896 )x^{21} + (-543336493116884816815614960368a^{2} - 13056270833493502765985547936a + 613884524110756253450061258032 )x^{20} + (545119724566925802283627591760a^{2} + 275832180307982161562268000992a + 569417031425381535927677338616 )x^{19} + (178222514565448174975865661144a^{2} + 492718330851204737441510361648a - 56526109842564310108520259260 )x^{18} + (-247591812411912041970473945440a^{2} + 146736525596720131273974373344a + 150197824585201652611736288616 )x^{17} + (439081738551856504438291787136a^{2} - 41687358283414283891729105488a + 20394494559507654410599787040 )x^{16} + (-64510215043726709718752781248a^{2} - 91258688735811018425171649376a + 475812952617406044336653831344 )x^{15} + (-620303704943099520532488138384a^{2} + 260892141543184543133939336256a - 244376302255617073581440787648 )x^{14} + (596543665665945235277281660256a^{2} - 377530337069248553582164038736a + 13899474195362372774857247864 )x^{13} + (-225173688472183657117198868272a^{2} - 287206336165222075616875901920a - 338951764434028325524472418268 )x^{12} + (-280226259447987066921056077088a^{2} - 416344834617784994394546827584a - 175247902735002400733199564672 )x^{11} + (-398547389587278410974409555200a^{2} + 605605685433993080915247540640a - 206334783132322937810020983624 )x^{10} + (584064131510057906443957416064a^{2} - 585802947264765782639810593968a + 32268103335305216765758394968 )x^{9} + (57890846356955704153731041216a^{2} - 588907659075744753578986364240a + 146411922695514135052691391968 )x^{8} + (-426116419085377713447186049072a^{2} - 223752897718067782262031616176a - 417746767613697045779072831584 )x^{7} + (572154440280177866466293957936a^{2} - 564763542557729082296795890160a - 516749441938849435634424387456 )x^{6} + (453404758831104537919032778464a^{2} + 276543204872533953996896961712a - 177944834440911632185165209328 )x^{5} + (242731862467483216509597252112a^{2} - 474946714832766380520666920720a + 346721348430300553462662041072 )x^{4} + (-612880318220080395244719585024a^{2} + 105751908607650551952386564704a + 33179697987416861393920650192 )x^{3} + (-406494014712885858905906466000a^{2} - 563976679898364919572338039184a - 161767012654766664125477397528 )x^{2} + (370002415220617389198021093776a^{2} + 543148518279861812130819026224a - 459942100559302822605522514000 )x - 423321425255218424506999552000a^{2} + 377053978240793392108468022208a + 389847135032372955643400144524 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary