← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.229376_262144_491520.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((103838377683031915502795146236a^{2} - 61174766308126885223263275176a - 72418158842366714842018722698)\mu_3 - 95934129992815479302963098944a^{2} - 143228153837424935766745492026a - 68816932454631393881201681879)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b^{2} + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} + a))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b^{2} + ((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2}))c + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - a + 3)))c + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1)b + (-2a + 3)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1)))c + ((2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 2))b + (2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1)))c + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2}\mu_3 - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a)b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a - 3))b + (4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 4)b + (-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 4a + 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (4\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 1))b + (4a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3))b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} + 4a))\cdot b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b + 2a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + (4a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + 2b + (4\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a + 4)b + (a^{2} + 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 1)))c + ((-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b + (-3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-552201840490422223779510275648a^{2} + 207320711038593929050962184712a + 276121562233444136475626220020 )x^{47} + (312458962972470828159467404696a^{2} + 424038655269474899622065909416a - 357129661427713476311398033372 )x^{46} + (-306297021018765969686430038416a^{2} - 515172493787489558417854924676a + 148806020265337817279784235444 )x^{45} + (476372264431884797618359587608a^{2} - 387403055448110635726297039936a + 615592023825401133682854997284 )x^{44} + (497698589767301512725272925216a^{2} + 452091257783541579160176073760a - 578160222197358699226703177928 )x^{43} + (22495872545034817972555762356a^{2} - 173778282056575342027171446040a - 387269862006848440527506640510 )x^{42} + (603068516581461892253860201784a^{2} + 461899518728656973146042069376a - 218354927586175091578382452588 )x^{41} + (-576431909759947083105099840192a^{2} + 529065541183499071016806107400a - 271576452462045421930766503208 )x^{40} + (-508713433105666429643006310776a^{2} + 489679271172580526482754534488a + 134566833003588400841891178932 )x^{39} + (-532638046012779604453753132376a^{2} + 172089622792186042269564238424a - 534361848347940854482161500640 )x^{38} + (42107660067874028773352142232a^{2} + 34952705629591285392342476768a - 337366878319791630257363628980 )x^{37} + (584810610973250005224786741800a^{2} + 402086783993124575388847261520a + 178891137972328127977152134312 )x^{36} + (-284109143070493465414442261008a^{2} - 42613164447381382044238179384a + 535647548750118145408069615384 )x^{35} + (123220366810116345601668125272a^{2} + 505473245843570688484783689800a + 314386617764715607122300224684 )x^{34} + (-426166290490804337126638014976a^{2} + 153428932622697114465131810192a + 544379210049654762908022906244 )x^{33} + (-363760235705582013555046082576a^{2} - 436382046369925834659667992976a + 445928445061759374754200646692 )x^{32} + (-321303422222706489026848537680a^{2} + 3759779969832604908788642736a - 259662359185944664998144226880 )x^{31} + (416306578796138966144242991784a^{2} + 38614030707433892129368410592a - 489534587221127629740337574392 )x^{30} + (545919319435559337131646604224a^{2} + 370196200783500128561169583976a - 58872768046136513753559603624 )x^{29} + (-488815595014672879123457003960a^{2} + 563122668592668320014640541048a + 301217451828409343854969879504 )x^{28} + (184876615489748713453616692000a^{2} - 576014986221083659959032705544a - 304552032006874719103314466560 )x^{27} + (420005655761902263767476237376a^{2} + 431110151580799812695579515160a - 335318322351191385210297550388 )x^{26} + (120239375341324176577433595480a^{2} - 315052512127297752319607418376a + 294058675499637007344933740240 )x^{25} + (-107989677313617232330744350448a^{2} + 252028059905202492280905327096a - 343913206021041592822562719648 )x^{24} + (437238260949300594259009718496a^{2} + 364401314045429747482774898752a + 417525363396218505540623298448 )x^{23} + (-381566724739158498443155915936a^{2} + 326785308528524594847200109264a - 587446587327250454593456084688 )x^{22} + (-65966437935909094739290679520a^{2} - 61814526805253472100381554552a - 359934005046426530145815065488 )x^{21} + (417074716247152648238777206688a^{2} + 466817825946806642574857632528a + 357392091334330373217777958304 )x^{20} + (216443301176045218084580043792a^{2} + 576854140951366348624330095392a - 334053644837778525497184443752 )x^{19} + (-513008453363670867612183684104a^{2} - 511602810888716677167089356448a - 311902630760185859613680582924 )x^{18} + (-358630730882714679225188320432a^{2} - 156429570579415134772674550464a + 131818946186278067507254677560 )x^{17} + (609068692839361444587784048976a^{2} + 457793395342560986738823680112a + 345257986395616880311516458320 )x^{16} + (-137773184293333335334305345280a^{2} - 164591181498375376995534315552a + 115991190333363361721418384176 )x^{15} + (593558839764909117935738884880a^{2} - 7866271111025383697573552768a - 110163298500452311080340219072 )x^{14} + (-532791966662670398954776830112a^{2} + 429651861240941577798576171056a + 113186575841535531031632831576 )x^{13} + (-230159382521129916225856718624a^{2} + 496330463360167489976289937984a + 284775958631720610968312312884 )x^{12} + (15726207214829689098282239584a^{2} - 49436651360585823992384049216a - 409379449499799985952271884800 )x^{11} + (-164220083519048108170838881696a^{2} + 475389821796487964033740020096a + 534830208887767802535807605688 )x^{10} + (598637735924640885534235875808a^{2} + 30171078365052556550836094160a - 294055454642653475914214935528 )x^{9} + (76171860843566803355236893472a^{2} + 67802765419656822648939228816a - 316155879130277219910746380416 )x^{8} + (-40935312016064234386238004016a^{2} + 384831061644020913249260888720a + 495165590765185585424437518688 )x^{7} + (-493972810720689662732229385360a^{2} - 626627000457143600100980299344a + 347705236496384148592908064256 )x^{6} + (-231899878821527004555810335712a^{2} + 29874430459072298016821439792a - 305756276091556760226629988048 )x^{5} + (-43497982789663855047382499888a^{2} + 95493794690667959136378833616a + 322121022954972288646852170288 )x^{4} + (20499892734895883776100624224a^{2} - 591307867596546727598535836832a + 598437617924922693230113693680 )x^{3} + (-383649818248808319028206270464a^{2} - 567090603981037328286231459632a - 86340270212217267947635275624 )x^{2} + (394395878501915931530196159216a^{2} + 102400662208083349164535352464a + 544272967054417099396371521232 )x - 257188872943678843095324484176a^{2} + 375585932911366969308689234224a + 481165450569868992838047576892 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary