← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.229376_262144_491520.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((103838377683031915502795146236a^{2} - 61174766308126885223263275176a - 72418158842366714842018722698)\mu_3 - 95934129992815479302963098944a^{2} - 143228153837424935766745492026a - 68816932454631393881201681879)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b^{2} + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} + a))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b^{2} + ((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2}))c + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - a + 3)))c + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1)b + (-2a + 3)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1)))c + ((2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 2))b + (2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1)))c + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2}\mu_3 - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a)b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a - 3))b + (4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 4)b + (-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 4a + 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (4\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 1))b + (4a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3))b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} + 4a))\cdot b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b + 2a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + (4a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + 2b + (4\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a + 4)b + (a^{2} + 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 1)))c + ((-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b + (-3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-552201840490422223779510275648a^{2} + 207320711038593929050962184712a + 276121562233444136475626220020 )x^{47} + (233002241203149737846940338064a^{2} - 113063832607224195569154421512a + 69847244245822229970017584012 )x^{46} + (-588934064231401290092323072008a^{2} + 153501740214669122868727862724a - 595891166842172124961193085284 )x^{45} + (530176963142181072508654720792a^{2} + 413873078019746473729882858768a + 167792610958200729740302574484 )x^{44} + (-84966724208724411159691808592a^{2} - 70600943187533740218641368464a - 449361315902968625556991072760 )x^{43} + (95876578873401401218787010824a^{2} - 511851462556490559431196232656a - 533956736985207775890320588998 )x^{42} + (250636049432990004069698626696a^{2} + 320236494198588135304782279216a - 233858548452326575552031469948 )x^{41} + (379294635902165136564081433600a^{2} - 44460037710496599261645392232a + 320877084891109550798539269528 )x^{40} + (627722900247528921194637720904a^{2} + 179242790700929489955027900088a + 35488715670732272908474963892 )x^{39} + (2001935749751194589752999672a^{2} - 42892234254212699244693125656a + 286960142167392049859080581184 )x^{38} + (-187734885599721808449986641904a^{2} + 550616835990854803692134303904a + 142850958740714416179454164636 )x^{37} + (187759063937133419010716143440a^{2} + 424046678723347546786002022752a + 208670982751422228774776845720 )x^{36} + (310296528834054520680307040064a^{2} - 98698053384237389047517117480a - 615887151899012689174503121800 )x^{35} + (335810997259209870291617593136a^{2} + 495850605201144929544796269336a - 360447233356572309848678613156 )x^{34} + (209322798691447684590968117080a^{2} - 454377006920636002571874593808a + 534570831443704633172483550900 )x^{33} + (429496472257566843056709601776a^{2} - 494256790565104130698853145216a + 316783554367176211662870273636 )x^{32} + (138098704019437538151660509424a^{2} + 573465009459759372149256392368a + 601881540144967961854275141600 )x^{31} + (459245809124084000259208019096a^{2} + 135448937047699094141333780256a + 258374278414794013797129789816 )x^{30} + (495307729230279478383451305792a^{2} - 51748432844749064300112391608a - 481820468849884251905235579912 )x^{29} + (260873555670019428253301048920a^{2} - 631300338481597020641220169976a - 2953142244479000673723201200 )x^{28} + (396363215905729983120045962272a^{2} + 169956176075041731488272073320a + 107706964075850400233000044448 )x^{27} + (113749543608754163949084169952a^{2} + 616960923778623734126272328728a + 444604852751880467924878535900 )x^{26} + (47243567763204902173705662856a^{2} - 625012687410663109484089800600a - 68539872264658519253714825120 )x^{25} + (577109942469441484584720140424a^{2} - 403999770103331291801517593256a - 424037968390476395243384151168 )x^{24} + (-573401993069899777120338486848a^{2} + 243434223511291281581453796672a - 579531298296746169904319933040 )x^{23} + (-313292921975393629370110831488a^{2} - 443654563899247493335309808880a + 162689380326822587237369284160 )x^{22} + (552274703010274943002344600720a^{2} + 403240743925888175929902604744a + 271474448953266362161243173968 )x^{21} + (-392375482967773270523101125584a^{2} + 618220455228927939824643416320a - 502969835338624862917652766400 )x^{20} + (220530716035861764243362170352a^{2} + 432290783540150933301664968192a + 343859464202815579088369258744 )x^{19} + (-189852315450796540171150988440a^{2} + 562302500072847827475653178176a + 464048562643941886239251009668 )x^{18} + (-260396299161074361777862890848a^{2} - 447559524401582673751585274880a - 517843526518372854819631671656 )x^{17} + (427052926007491659118125419104a^{2} - 352098515718577663500662988176a - 120420508502327176875188724144 )x^{16} + (480634030775723280080676437952a^{2} - 441640826370804457072615044896a + 205971153694609062727971320944 )x^{15} + (-160516875412252989990248486896a^{2} + 430360605394706026537419985440a - 532689762762269581412755521504 )x^{14} + (577398790691682231426694429216a^{2} - 208445821379666378028680373936a - 89544795563240767762788758920 )x^{13} + (419828470916313139851870372528a^{2} - 526926970148438862275686693984a + 25001383449245219570441327284 )x^{12} + (-515636397378662959752466219232a^{2} + 255487995629861819575320514816a - 74608223882379249099017317440 )x^{11} + (-62517039985665757451048146624a^{2} - 527226519154584879716157864000a + 500537750327287158979250378904 )x^{10} + (109833731948400816564694192288a^{2} + 556355730347698561031779291856a - 108042125587138237890644141864 )x^{9} + (-507309241151235949773780483008a^{2} - 466641585822840818788342878608a - 205346616108173885972789452608 )x^{8} + (414953434671317221188126218640a^{2} - 83808337063708887318687935984a + 106879861778879823772538207712 )x^{7} + (58722382983318930411789602544a^{2} - 268551280119615067121333290480a + 393321897913854284244871096064 )x^{6} + (193681172235618463103856401824a^{2} + 62833164763524224983390144528a + 126517888034510110061679612880 )x^{5} + (578052126488984830201656534608a^{2} - 393040568098184382149605517264a - 183569788258320850747479323600 )x^{4} + (579714358261087367474263745728a^{2} + 606404094573918053816694208352a + 517906668889937695593025526256 )x^{3} + (224261738354095786230047362960a^{2} - 224658021037242566124753166480a + 423824091007560600034847687000 )x^{2} + (-491106280049874083858543190384a^{2} - 242075474431749100241528281040a - 440332986173474020723746466672 )x + 318801331365133283116660161888a^{2} + 506400587331871690779348961280a - 442592610103420712721067535748 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary