← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.229376_262144_491520.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((103838377683031915502795146236a^{2} - 61174766308126885223263275176a - 72418158842366714842018722698)\mu_3 - 95934129992815479302963098944a^{2} - 143228153837424935766745492026a - 68816932454631393881201681879)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b^{2} + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} + a))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b^{2} + ((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2}))c + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - a + 3)))c + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1)b + (-2a + 3)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1)))c + ((2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 2))b + (2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1)))c + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2}\mu_3 - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a)b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a - 3))b + (4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 4)b + (-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 4a + 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (4\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 1))b + (4a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3))b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} + 4a))\cdot b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b + 2a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + (4a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + 2b + (4\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a + 4)b + (a^{2} + 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 1)))c + ((-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b + (-3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-552201840490422223779510275648a^{2} + 207320711038593929050962184712a + 276121562233444136475626220020 )x^{47} + (-479151530180323045029125325552a^{2} - 433438016727638489133438666336a + 295413678950941872617457382644 )x^{46} + (368787551441016105998567517072a^{2} + 66217260762784908599602388340a + 302293279565378015066649822844 )x^{45} + (-176704214543624001271855257832a^{2} - 528678886973695784810758569552a + 469336777883998063812973574996 )x^{44} + (-538719295789293729069222257024a^{2} + 22430626752432366397028313440a - 411330171521836643150006112232 )x^{43} + (-121528198970465979737826863980a^{2} - 73259264801788214318242909040a + 241855597084612479750999046134 )x^{42} + (127229011236515350692262602136a^{2} - 388411169956443224369026230928a - 234200730977427340174454412972 )x^{41} + (262354274530264241714463083296a^{2} - 19897270102589347810354917624a - 562073024400902793322955916584 )x^{40} + (-144081678357350300756932629528a^{2} + 118561448301777654362507432728a + 328153326256917865898728747636 )x^{39} + (348299311565554509941238997928a^{2} + 296287617903258392501972850904a - 626741240312439251673258762640 )x^{38} + (-267525451515499425026450360248a^{2} - 417443272394114258223864912560a + 378690339362257016770083986932 )x^{37} + (107656830786190755243156459960a^{2} + 239142880272704338091921869616a + 78724341967308587227348813312 )x^{36} + (-551618142334431511962999342480a^{2} + 55687713518600985013282014184a + 271585389631966809353976437288 )x^{35} + (239592064597014900343997330392a^{2} + 124454671154157916134978042168a - 530285913486642902813040329884 )x^{34} + (-560609689593219748388794412528a^{2} + 95711831690728363439493866816a - 586107029004714886690299345220 )x^{33} + (-628765933480593183357556805872a^{2} + 556692691107350213558591247376a - 542369205235510399281503290844 )x^{32} + (-554019235044354294142994752528a^{2} + 531735769809359730608307597520a + 368884203607014245254850721024 )x^{31} + (348540737185892909402277773144a^{2} + 531365454441677661549025449808a + 472516706052651545790875737640 )x^{30} + (-188201493602461202736419691488a^{2} - 466831429165028986415895290168a - 85100719082953236950529120136 )x^{29} + (602933143101131449637852438760a^{2} - 73263917222114448868021301576a + 236807065094032961214050388800 )x^{28} + (456790662121243474961000107552a^{2} - 494542827454406823703998619592a + 554423506705008463333989090912 )x^{27} + (-467895804506795876766313603776a^{2} - 556606241788140467255368731160a - 206032650550195264191571998836 )x^{26} + (-205930830162468138097471753368a^{2} - 622042892759450451718470187896a - 450828525829340805875709238576 )x^{25} + (-31971592861696834422696962320a^{2} - 588671394904066371637597042728a + 491684001800613436174558844504 )x^{24} + (270878743179428832788843101152a^{2} + 199837682171508767898493778496a - 20432054573901432973075320528 )x^{23} + (464878802026683111000551670128a^{2} + 163706674355041135594111544576a - 501496694137591450663843861472 )x^{22} + (-571046867222910322482636151616a^{2} - 42404768286740175487521079064a - 427032681529057322847665625664 )x^{21} + (330533802939846975170583510752a^{2} + 466641078944149186167759591152a - 190374480815510033179894416176 )x^{20} + (405686319637321678911258067504a^{2} + 357447922381526774123625590144a - 40595304373960135986480987944 )x^{19} + (-494963495443712506285644869624a^{2} - 584399001672882058429218986352a + 143593671425742560301093189268 )x^{18} + (-359347996035395226798551131664a^{2} - 605622936512225344702165887200a - 70945793451550914800374322744 )x^{17} + (-467528502301229100062357185712a^{2} - 63809830751080036530313661456a - 405740221308996831012473954656 )x^{16} + (-171063592126742341326941044736a^{2} + 242336551875122770311951437472a + 503791357328080640428161548272 )x^{15} + (-20720210813979644577500336656a^{2} + 168539832225232353531886978912a - 471881234698778638931906642272 )x^{14} + (167562843907333409574239736992a^{2} - 140160960628708464165931388336a - 501293452131355954808921751400 )x^{13} + (182681047250028476745222404384a^{2} - 232800675378369173503856474176a - 231740928781747131692687118300 )x^{12} + (36722147029786821751892912288a^{2} - 41104357939769214963389336960a + 154672750742944399683481473856 )x^{11} + (518121304407683515227765619488a^{2} + 33738530868161989910677332128a + 498188237827551307707344745432 )x^{10} + (-622870646104595025290976105344a^{2} - 354388482045411175187163335792a - 534215149161679398144701903336 )x^{9} + (328977239518112272435300663776a^{2} + 18155751829346621059974813776a - 338988812476310917204043909088 )x^{8} + (-136023089874354512967410992368a^{2} - 100269032189801270747896207152a + 482194324782701108792498039968 )x^{7} + (7320877521719538776377194288a^{2} + 369525777050268008451542802224a - 483587128255671066031625995520 )x^{6} + (-564975226164974920346138022048a^{2} - 122052259358366742922531759728a - 20619772050965979421139443152 )x^{5} + (279362107674616470616298772240a^{2} + 310957103703767650438689327376a - 591335834999031929885948634512 )x^{4} + (337250222521454290644300659936a^{2} - 298973367263802343332811892384a - 448796108053112408392167061552 )x^{3} + (114023794870031761521243616000a^{2} + 133550537346268702022198653200a + 11430551768956397920221762728 )x^{2} + (489449266292479896939793848880a^{2} + 64299689455210454642634273040a + 179073955184876127210126854640 )x + 279233694989564608250737252208a^{2} + 442400141582619644170215343792a - 178134865372065800519654334644 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary