← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.229376_262144_491520.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((103838377683031915502795146236a^{2} - 61174766308126885223263275176a - 72418158842366714842018722698)\mu_3 - 95934129992815479302963098944a^{2} - 143228153837424935766745492026a - 68816932454631393881201681879)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b^{2} + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} + a))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b^{2} + ((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2}))c + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - a + 3)))c + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1)b + (-2a + 3)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1)))c + ((2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 2))b + (2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1)))c + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2}\mu_3 - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a)b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a - 3))b + (4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 4)b + (-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 4a + 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (4\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 1))b + (4a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3))b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} + 4a))\cdot b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b + 2a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + (4a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + 2b + (4\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a + 4)b + (a^{2} + 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 1)))c + ((-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b + (-3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-552201840490422223779510275648a^{2} + 207320711038593929050962184712a + 276121562233444136475626220020 )x^{47} + (144148865874057142157525698408a^{2} - 34875852023226564620930898016a - 238195761555787936324033541660 )x^{46} + (481890684712935621403383333152a^{2} + 234953193732244857529284509228a + 208691357832216568699467914236 )x^{45} + (350501676550375582771936722744a^{2} - 615258704916809083622111169968a - 626202350790563825455916697148 )x^{44} + (-84773733847606508556807866384a^{2} + 575260969062968996980648329728a + 513190542183360475531581269384 )x^{43} + (5615158808225858488824929976a^{2} + 588411293294899394527912142996a - 304806836930779411056392335854 )x^{42} + (574608379172684388298008809608a^{2} + 582911755038413961271180706624a + 489785023563241748381009849716 )x^{41} + (84451393440287242928650695568a^{2} + 361621656497693829808954880552a + 392339493892795060773169590904 )x^{40} + (563442305991488236533311677672a^{2} - 232947242823334619369828609672a - 55578535446820154164556598604 )x^{39} + (431038064965358904070603819816a^{2} + 326196654140361984774724453320a + 532936401868560923764805983456 )x^{38} + (581411600421595977914794430896a^{2} + 396485208103345171222415307352a + 344109506138133771289116201724 )x^{37} + (-387584691706844730985874970160a^{2} + 248025724350719993886430351192a - 281974635492536548592300008136 )x^{36} + (120950231035377479952978584016a^{2} + 212344303981805825934486313688a - 523565180285800462182245701320 )x^{35} + (621794468488573724267188705520a^{2} + 94659762595255082490764617968a + 14155813607722988163191112204 )x^{34} + (-226185830253694322738453727128a^{2} - 98548769382436430686621894008a - 316923476572839250410274777724 )x^{33} + (-127892347758004560941974320544a^{2} + 353638246373227048478769624080a - 589613600742483769722084943036 )x^{32} + (-59169847207615086226433510224a^{2} + 277723873528075317887891139856a - 185571323166736608669451487904 )x^{31} + (-584976997446027519723033172664a^{2} - 18270725521210468393377067088a - 246846044651839831816076483352 )x^{30} + (430489699342794599393274235584a^{2} - 259188094660714618715877963160a + 45490061775445953024077028760 )x^{29} + (594848671973000798145988322952a^{2} - 605494144907633538838042226936a + 174269246467148983045015849712 )x^{28} + (-321712558748335671268082799920a^{2} + 274752057021857433214338593272a + 431215684786551361563159962688 )x^{27} + (18762589310352612525601195520a^{2} - 241659805334559714645208791256a - 455684243056772880464850198692 )x^{26} + (-302112465259993287183633086456a^{2} - 160810118294055710236815445176a + 175483349161121732089864539472 )x^{25} + (-414949573858940220939822931048a^{2} + 144554093429838358740604044688a - 463932280325166745100329497872 )x^{24} + (341730151049383978799108686720a^{2} - 38872794276842529571029183456a + 53603072194833205413835215312 )x^{23} + (-69834367718314451131216651568a^{2} - 5133234413298588447650028080a + 350081092279657761963035613168 )x^{22} + (-619879823363059755388943546416a^{2} + 120282321023938199010488489848a + 171504058133792417380991447120 )x^{21} + (-105604638082899407862230105152a^{2} - 305596997701563715616798968480a - 599584519782291174710173028576 )x^{20} + (474222660141897851971044923056a^{2} + 282531473058370365642455896896a - 386768783213361577909323346984 )x^{19} + (-335755487626278130999370139592a^{2} - 321797404538318773960242175312a - 253565560340961757020092974252 )x^{18} + (231904884930117022312932884800a^{2} - 176771964817221052617782935856a + 281584197751857054833440119224 )x^{17} + (273319901025147634005846644288a^{2} + 276233963859926243730703695936a + 391088514283153101307557054000 )x^{16} + (204461688112460723555852965184a^{2} + 499927128419036365561782396896a + 147145578558079539595963584240 )x^{15} + (-567763947291793086402326765680a^{2} + 497468357925400548896924590784a - 114341627496916296202784056768 )x^{14} + (216498511095433695724655625216a^{2} + 536325809040737362794788594512a - 480931259995490749365706859400 )x^{13} + (-557684130820469590757752225264a^{2} + 327725570226854883122732681424a + 346304624156062870766662643700 )x^{12} + (-173933336915980459532784351264a^{2} - 145017282132310995522568145920a - 549744640045751510504544993600 )x^{11} + (626511350564368139765919598976a^{2} + 175479353906963060926618457600a + 570628573733808070652452896024 )x^{10} + (289335975955038037047077926112a^{2} + 324304593097422292691513099760a - 495204107512212463203003321640 )x^{9} + (-129264549257463658352632117920a^{2} - 201032850278322675051108403344a + 225853096642895559973486646784 )x^{8} + (608471530298342260013374326160a^{2} - 325514740702491645758953663984a - 542547432590897482632025129568 )x^{7} + (-226981089265807380689680458928a^{2} + 161023138707838537507993968560a + 632685375895756980855125363200 )x^{6} + (357886944417957847161376328384a^{2} + 537945871104072176380807522192a - 474759158080965917543969478384 )x^{5} + (56718056151274864080340514096a^{2} - 260737592796344752848371684016a - 182966164288898984053594198288 )x^{4} + (506011933243149681550486249728a^{2} + 4992880483993357802656343872a - 624507166136656975907870705360 )x^{3} + (-301713924792121066872509614832a^{2} - 352428166802751511757321247328a + 533435666651138179572903132472 )x^{2} + (-164438576710372526673335350992a^{2} + 188965967576716815027727292528a - 381875436380536867184840601264 )x - 28446093750838231351597738544a^{2} + 532048469565756094538818939584a - 520938716923784414462719763428 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary