← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.229376_262144_491520.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((103838377683031915502795146236a^{2} - 61174766308126885223263275176a - 72418158842366714842018722698)\mu_3 - 95934129992815479302963098944a^{2} - 143228153837424935766745492026a - 68816932454631393881201681879)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b^{2} + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} + a))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b^{2} + ((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2}))c + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - a + 3)))c + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1)b + (-2a + 3)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1)))c + ((2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 2))b + (2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1)))c + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2}\mu_3 - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a)b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a - 3))b + (4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 4)b + (-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 4a + 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (4\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 1))b + (4a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3))b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} + 4a))\cdot b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b + 2a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + (4a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + 2b + (4\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a + 4)b + (a^{2} + 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 1)))c + ((-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b + (-3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-552201840490422223779510275648a^{2} + 207320711038593929050962184712a + 276121562233444136475626220020 )x^{47} + (429228790916027232389943339288a^{2} - 126560714014070737058222510008a + 207397137180823333540622806636 )x^{46} + (-202920834498092621402276433000a^{2} - 14801640610801185162244707124a - 287202569900264490491340160868 )x^{45} + (-448578238524848423680392207080a^{2} + 13342013974912470633528984624a + 79560698032798251526952058532 )x^{44} + (160796763861766879900609414336a^{2} - 555858635383931160690256408560a + 119473116663502935624979656088 )x^{43} + (-367352186638752779973917540148a^{2} - 127350718251360681089016991108a + 307791235288151735705113544070 )x^{42} + (51516236544705388271627541592a^{2} - 513724133354385467577136842624a - 166406463360878950513637375228 )x^{41} + (586791067396562569103770050864a^{2} - 5300841831704208094729926312a - 87901720179145910844876742376 )x^{40} + (361929220104280129320654360584a^{2} + 404758890645056475545221722712a - 607592349525563592673263231692 )x^{39} + (-13543462579649171103620993672a^{2} + 205391071535366235782525928408a + 8809308174196603145329029584 )x^{38} + (-525748731156643130395630549384a^{2} - 245385538925122147561247480552a + 125627894471386949810603436388 )x^{37} + (-532318068180048645947821718520a^{2} - 252433741126153240630789325128a + 364081692961367276003407997648 )x^{36} + (-38791266327963049992461869696a^{2} + 320870690628198750018971700712a + 71491533604690239982981541448 )x^{35} + (-514244318317540644499065582584a^{2} + 27492487627978141287698440096a + 181612332996664257720998657092 )x^{34} + (-338660299701749980837856348176a^{2} + 541901166819752732570321616904a + 47100640082487742184603673820 )x^{33} + (620010078327812392557940445952a^{2} - 387077640235708254095312674464a - 508353317898502378876966132828 )x^{32} + (137527616976746345979775121456a^{2} + 334876770720168622932712842608a - 458417752924390351722768422976 )x^{31} + (360075252092106874537945286952a^{2} - 250157999821171300042838508448a - 119726322787747526130884495144 )x^{30} + (-265407418939009525686795172320a^{2} - 24314390342445687856660849496a + 114985089714682818777555672984 )x^{29} + (-587142064328066110713476653224a^{2} - 86789165065115345713225498632a - 95997936548490416068512690560 )x^{28} + (458766160701555364637844250160a^{2} - 566354156986682921849587793560a + 73672784567701914863913754816 )x^{27} + (-151887119991678821828134394400a^{2} - 524531255340647628428276764008a + 445041172622739789753997617452 )x^{26} + (282604426773353220704497295368a^{2} + 261577595595147387385774673192a + 350128365554938016306184640736 )x^{25} + (-202970502019513707759210264080a^{2} + 294871809425982780365917997088a + 181060659295485566441189523416 )x^{24} + (629986272874502262197844053088a^{2} + 338242682893676761135025397984a + 502603641248388008343784726192 )x^{23} + (246791660506184977701171222912a^{2} + 250884318389757511957191211744a - 127861993047281084770594489232 )x^{22} + (601586366656687527515029560608a^{2} + 498693595823678099191978328504a - 309021074130255884669314701472 )x^{21} + (119254167176741592947131291696a^{2} + 631394111900227080504308398864a - 60291103733289605444649320944 )x^{20} + (388569928586335971008238441456a^{2} + 508749643053390988061676387328a + 172066313971215648093177463864 )x^{19} + (-265247918712244692427306386184a^{2} + 495567356190927034114492280832a + 554079806192100078689211149668 )x^{18} + (-486696821336848802534420999824a^{2} - 573243044617036717480949505712a - 630293360071129038308918247608 )x^{17} + (-374873138207997105848109865264a^{2} + 205461680489584267457009657504a - 630972238240248807989608135968 )x^{16} + (-42475450301515069156660051584a^{2} - 530743775962848120932211324896a + 344070354841617477608775928816 )x^{15} + (-277698915017683863719451971600a^{2} + 6264313020912379122573466432a + 516865672139185744074581694656 )x^{14} + (-629130733943272950416412931136a^{2} - 339454550825417038969195078064a - 466467504426426970493806272040 )x^{13} + (241632771058136750091994768416a^{2} + 552590459793017754256417210192a - 497756281653004549667835945852 )x^{12} + (-540285436728592733400960094240a^{2} - 506425099432051213880631411200a + 485943995227930001930531963328 )x^{11} + (-340432881660147214296800949856a^{2} - 109975961771425480939624884064a + 8506348062951145633609977240 )x^{10} + (-74542706049347980678582712384a^{2} + 53712095213125154202142014896a - 23921801874790649083100118632 )x^{9} + (302721294615169025369176950272a^{2} - 176706764740778687138462524976a - 47805008577173274434795324256 )x^{8} + (-96893650563766869909252992624a^{2} + 264086841003878739025925069648a - 176344299226043603932195130400 )x^{7} + (-225299402381018589135921697840a^{2} + 120228284132590889482835480464a - 263747130582678338249269059072 )x^{6} + (488246064593068249952623766976a^{2} - 137724818849296757670121528944a - 438458623278824545721532078800 )x^{5} + (118148442883472207840298625456a^{2} - 605605984921928424684058857232a - 495626923486890361537810522064 )x^{4} + (-431214151522703750867070657696a^{2} - 475735118745436097638657814272a - 53671832051775773206427117616 )x^{3} + (-83202315719055253919183255200a^{2} + 404448759750549040348481864544a + 35526309924002392130044315880 )x^{2} + (451486339738104298382709162448a^{2} - 491779789083093136702490047280a + 213111361068664697202837436528 )x - 126230312101870361401871895520a^{2} + 567498193292076506529651468656a - 536734991634656470701693482164 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary