← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.212992_303104_516096.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((126652553918734885685541556826a^{2} - 51662354770601955106139274514a - 19212949847967649221929369772)\mu_3 - 139626927449689614805928451207a^{2} - 90022944843025870146656139100a - 135323906147208499566913444733)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1)b + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} - a)\mu_3 - 3a + 4)b + (2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a)\cdot b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2)b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + (2a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2))b + ((-3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a - 1))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4))c + (-3\mu_3 + (a^{2} - a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b + (4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a + 2)b + ((a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1)b + (-a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a))\cdot b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b + (a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a - 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a + 2))c + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + (-3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 4)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 3))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + (-2a^{2} - 2a)\cdot b + 2a^{2}\mu_3)c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + (-3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a - 3)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a)\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + 4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((-a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 2a)\cdot c + ((2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 3))b^{2} + ((-3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b + ((2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((4a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-263834949806066703809709066268a^{2} - 538824413981795393077329486064a + 291395241545218581678394305868 )x^{47} + (142102496964209915186162847092a^{2} - 116938867238826842677354321620a - 626017855598138717315768476732 )x^{46} + (172684133695021825993309186904a^{2} - 12507065390645117984457449204a + 391751237847506986126383513288 )x^{45} + (-569698504851481027367018747932a^{2} - 145865506776763562008605034096a - 560586714104914180117202668812 )x^{44} + (-345112590847944795766117652688a^{2} + 139902510508633304886015273080a + 247978378802584863294020287008 )x^{43} + (-138345953626888095616860657294a^{2} + 253951892928415979739974484270a + 353046917000621524482265574532 )x^{42} + (-290727926684417777707727720736a^{2} + 448197897416803462321615262052a + 10247926203215662857828110860 )x^{41} + (128883804627828802381638141792a^{2} + 308475529856157991235353845068a - 105896785703453386975725191060 )x^{40} + (-237937232175456871252803429152a^{2} - 80841409506278154094906831780a + 60855715416925532357515720208 )x^{39} + (609145293721148400909206787224a^{2} + 504779131005910056351045445464a - 274231316595021744759363313536 )x^{38} + (462001846637751839731995061764a^{2} + 476311269216732043123784208176a - 558972984504117377787269007940 )x^{37} + (-474620284662361142268520357268a^{2} - 145528548449824346775280539528a + 261578384440883554315960522980 )x^{36} + (-500136163079854293317036592864a^{2} + 172197925567977259257080693752a + 37823093322048815862198849248 )x^{35} + (446924371806280872631290996908a^{2} - 597577936887979375295100080280a - 292228878022750163191505919444 )x^{34} + (-248862754194056704468342364236a^{2} - 109312984334069807814757507784a - 45498089512570531615599121360 )x^{33} + (-123891664634972388432127870364a^{2} - 27243582590339749475028007468a - 10759678685110463784059956616 )x^{32} + (-515747010078747887767543025328a^{2} + 294662782889279946205617750992a - 484909678298743672783092071152 )x^{31} + (354126955397930112815177588824a^{2} + 281774608348422255293591324544a - 38854118534187566325978361044 )x^{30} + (-386028622351795855497394199520a^{2} - 50168197234501863181381447952a + 105131810722778483151730345800 )x^{29} + (-31663605611571403356589649752a^{2} - 82392428162953312698920804408a - 630116910370623451189549857536 )x^{28} + (-608717257497884873094043682128a^{2} + 596467397601930260434381188504a + 39228063572351991675022757936 )x^{27} + (187438362208282392619294626996a^{2} - 388150908488342831374213101716a + 87397848539184271947357139188 )x^{26} + (531656139160468062344640310336a^{2} + 513646551635947225099209847392a - 603773225496591642311862690328 )x^{25} + (72906527455619694301668548736a^{2} - 273220618572567478410187248844a - 42331510123779887638927977552 )x^{24} + (-303751238610742884808619162544a^{2} + 516609400293975147185479257232a - 220445146528540502241193538936 )x^{23} + (527250428856647855063799983352a^{2} - 404964589536755219227157268016a + 423657768774283365304376338552 )x^{22} + (-5742848624536897509778103296a^{2} + 542903496607637870683827122840a - 77703035319169826119569557384 )x^{21} + (273200212060087594306075049248a^{2} + 256738711845970929189221621616a + 84358050441689617938181195528 )x^{20} + (618002775754934037280502443640a^{2} - 140473672014862092804023709480a + 196615992887631690197506423592 )x^{19} + (64892607695331944115794395588a^{2} - 278874025482978792115968879508a - 138966777845465824867094162696 )x^{18} + (206548051698062911642915611264a^{2} + 621065243106826552406624267064a + 483428751960501809157965668104 )x^{17} + (153546413643387411373652298272a^{2} - 584934358082800810732616239144a + 624158326735325461222104412120 )x^{16} + (590893562985836666855676314448a^{2} - 610619690767000136149844508752a + 204285243624661428810388153376 )x^{15} + (348125911695536918411050117088a^{2} - 319706704290239279982625796624a + 284118524439021515160665587856 )x^{14} + (-377051344458986749228004661384a^{2} - 472358679118720553614223223408a + 560618175141697483682798857496 )x^{13} + (586514720841003507809731816268a^{2} + 89049420998270354062369767244a - 382102876686417259082907770116 )x^{12} + (271589059500008982916284407056a^{2} - 142387005107093791460946402160a + 457550953285731531786532614000 )x^{11} + (-327867311919320906741358592488a^{2} + 173178223758525545151050206496a - 369395713474875167497589524936 )x^{10} + (146129466124851087226633607704a^{2} - 530078033067996059141672561488a + 224883721165282562460377574160 )x^{9} + (18743465015929707711214500352a^{2} - 520160459597315800070642825280a + 9288661929269039481218213840 )x^{8} + (-326922091606429817944288976720a^{2} + 298398773776898442062010210176a - 391407421853227096864503176688 )x^{7} + (-609700814915209107085958998160a^{2} - 439005107621630435627443819504a - 447139097188473976588112278888 )x^{6} + (182767770189323970383534878320a^{2} - 376352058953071601076874745216a + 377509302651325863087909500832 )x^{5} + (522162875374644542415112785504a^{2} + 519863646499303697851231766832a + 159038771075133125617985309056 )x^{4} + (17486223714795103866913980064a^{2} + 292367489472476909431780372112a + 59385607304124389622892868944 )x^{3} + (75810680286118610538818069256a^{2} + 537264794680209163264230843672a - 283565368454095521409795596312 )x^{2} + (319007061119118596096481498544a^{2} - 396289265957600354902411730512a + 17865331491254860818112448528 )x - 498873115117132453703339148288a^{2} + 500009995364290480724745060536a - 154640443821135417319816302292 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary