← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.212992_303104_516096.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((126652553918734885685541556826a^{2} - 51662354770601955106139274514a - 19212949847967649221929369772)\mu_3 - 139626927449689614805928451207a^{2} - 90022944843025870146656139100a - 135323906147208499566913444733)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1)b + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} - a)\mu_3 - 3a + 4)b + (2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a)\cdot b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2)b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + (2a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2))b + ((-3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a - 1))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4))c + (-3\mu_3 + (a^{2} - a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b + (4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a + 2)b + ((a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1)b + (-a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a))\cdot b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b + (a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a - 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a + 2))c + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + (-3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 4)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 3))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + (-2a^{2} - 2a)\cdot b + 2a^{2}\mu_3)c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + (-3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a - 3)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a)\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + 4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((-a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 2a)\cdot c + ((2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 3))b^{2} + ((-3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b + ((2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((4a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-263834949806066703809709066268a^{2} - 538824413981795393077329486064a + 291395241545218581678394305868 )x^{47} + (-2564588470267896187253726268a^{2} + 188818284736662819707711513428a - 102829166307183373030117295724 )x^{46} + (302929500571367951377105822616a^{2} + 121498793817323628664368570564a + 347940742892803191770052476384 )x^{45} + (77004498231643952638982300468a^{2} - 105457194475198372094073560048a + 461406124850416453982268545508 )x^{44} + (-231070652186706319318785931600a^{2} + 210185199653880083658456079400a - 619345962255180663747299490288 )x^{43} + (-506577106610644715165700060942a^{2} + 91974328044327764378738022274a + 73601849172171209645006333948 )x^{42} + (122918677720975524705381730728a^{2} + 170591250037769325392654996428a - 379074105732283060023340383052 )x^{41} + (-288221086991424325132190155792a^{2} + 229295598030715201685359425100a - 263080268235053376663420063140 )x^{40} + (-358093737506238428844838054736a^{2} + 622273522198461963097665710332a + 575867535639703974919520974944 )x^{39} + (164297081999322806787104217896a^{2} - 11297831828482315982829402136a + 78452538890574950456932146960 )x^{38} + (-301365390097319272953703008604a^{2} - 451080448927659577092935001576a + 391500136706853485042214051604 )x^{37} + (-73359126272175798855068887740a^{2} + 518394069525085011443560555112a - 477600147290223349506952459980 )x^{36} + (-556993801506438078146997509680a^{2} - 617228583306314750548531464520a - 257096228938161994138151268032 )x^{35} + (-113197923651517701915866525140a^{2} - 552736923004944323073704216904a + 541821571398061353188987683012 )x^{34} + (603272121414869870654839745404a^{2} + 620814083899956148298690247000a - 621282829102717928081783439384 )x^{33} + (583923910718722346872502445956a^{2} + 578968732878959817391397143508a + 585230013989583648305017965992 )x^{32} + (529888431241255952836290598192a^{2} + 400909397340227925232076221712a - 132486128685124809379570676400 )x^{31} + (166759295260869015719670712136a^{2} - 489570355234769149216822466880a + 547182756963448254651510734668 )x^{30} + (472103990540223514921236741376a^{2} - 266253120247705702090562951120a + 632703779702587008212801874856 )x^{29} + (284224969429673949380298765928a^{2} - 384154870349243836846190609816a - 195257037598275531003021704608 )x^{28} + (-70683452714400627077292199040a^{2} - 161404879095787980096615688600a - 386335147097218738447961954976 )x^{27} + (-145409165859768464344019248732a^{2} - 187039888629543443863609946516a - 623191501948249280190021362956 )x^{26} + (-24361630094180660003442178976a^{2} - 438177405521929552288383196672a + 487576173591866053748269873288 )x^{25} + (347635919265242340038832298120a^{2} + 258336839248441179344118076604a - 169259722034678125868032758448 )x^{24} + (175818104557305100978876855408a^{2} - 165417424312411045009393494832a - 334127752704696015991065396248 )x^{23} + (417353151298788952627997819016a^{2} + 538248060980138503833135546304a - 195849477066922905428689373000 )x^{22} + (232247727486142136583495836224a^{2} + 166275049536893676327139140936a - 388627922316727022201687648616 )x^{21} + (487803827434034190089423591536a^{2} + 141927190487717302061577073120a - 278277408144409066961208024840 )x^{20} + (-42978758631907448839448768616a^{2} - 249647682135655792903797956680a + 497798772170909543712744018088 )x^{19} + (52071236547012156282482942644a^{2} - 62734876295792313445011117476a + 55316681139173556960320693208 )x^{18} + (-178845971042640484114182616720a^{2} - 236868998656462004287634155256a - 515830145147162065837081915352 )x^{17} + (268740513159273178498839935088a^{2} + 105009181084405063750581734136a + 488887106112336484524830083480 )x^{16} + (590992014782382272781327303312a^{2} - 186988829299540414618267084688a - 478085773813064836739474986656 )x^{15} + (209139915598830971093858751136a^{2} + 455628345083789411986283540240a - 289880303047614400950378618800 )x^{14} + (-268556595221830422506676204456a^{2} - 89809541662820518138860939664a - 429695572556395474271285510952 )x^{13} + (462177324228588558933794016284a^{2} - 80594644000286622139007589156a - 442378082434036195805388069620 )x^{12} + (-100464322006829546771433118544a^{2} - 502137414348354626461202372304a + 424749707903487600775143788112 )x^{11} + (537663429118506734957425789240a^{2} + 162214849700881546082275195856a - 144616121571211678718636995784 )x^{10} + (223792756022318487233793731384a^{2} + 146911210623224150139569355792a + 476043959490599929748469419728 )x^{9} + (103618137658418472651794482944a^{2} + 514807285852215723781621848544a + 202703279992924397731597106064 )x^{8} + (-607744623926021164667916167248a^{2} + 26667448826166422402779606784a + 295408440097019935146298697744 )x^{7} + (-419041812657425121258840556800a^{2} + 318828548413449480867988565056a - 488751364638439454952032845096 )x^{6} + (384812175150980162582767951024a^{2} - 572297338411327316905410464288a + 56125338742589629406226772192 )x^{5} + (-139879498425190018363820892352a^{2} - 400210695776573349954144818576a + 253062912998884046688768949536 )x^{4} + (394091153378496386390160567328a^{2} + 374830263129464325643396488080a - 500693030472409518915876146192 )x^{3} + (509187251347927610956544778072a^{2} - 157893403990958644475870011944a - 518985849100413016934933418296 )x^{2} + (122635158476942274678066970320a^{2} - 503475194420706118840472297360a + 371920672192960381384616965648 )x + 204800930533348552277102591600a^{2} - 400720195773099180628014425256a + 345965162494354546277447149724 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary