← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.212992_303104_516096.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((126652553918734885685541556826a^{2} - 51662354770601955106139274514a - 19212949847967649221929369772)\mu_3 - 139626927449689614805928451207a^{2} - 90022944843025870146656139100a - 135323906147208499566913444733)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1)b + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} - a)\mu_3 - 3a + 4)b + (2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a)\cdot b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2)b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + (2a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2))b + ((-3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a - 1))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4))c + (-3\mu_3 + (a^{2} - a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b + (4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a + 2)b + ((a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1)b + (-a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a))\cdot b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b + (a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a - 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a + 2))c + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + (-3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 4)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 3))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + (-2a^{2} - 2a)\cdot b + 2a^{2}\mu_3)c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + (-3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a - 3)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a)\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + 4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((-a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 2a)\cdot c + ((2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 3))b^{2} + ((-3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b + ((2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((4a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-263834949806066703809709066268a^{2} - 538824413981795393077329486064a + 291395241545218581678394305868 )x^{47} + (-163443968559572402894362723028a^{2} - 614659988402002991963363231044a + 164680999023925551166805802092 )x^{46} + (-69812830357689796276477103880a^{2} - 223594390225621238254398910204a - 444284036467809777810875979480 )x^{45} + (-99499896663734782913375869884a^{2} + 240335998920252026234533281072a - 606421633057700251473018958284 )x^{44} + (19199230590272192772548397216a^{2} + 110161922053021051691635172952a - 593543942645292107700394885216 )x^{43} + (491842099417476542926288834902a^{2} - 86521533769653594412450101362a + 581384713081348597349813038664 )x^{42} + (-56895514417524767862165703280a^{2} - 47287733059742361852723922804a - 328648424297184245795205524028 )x^{41} + (-211094988940824354523502556544a^{2} - 278160252221486818652890263268a + 129303584232005981075595973836 )x^{40} + (452535091828363712502707249264a^{2} - 239807501135247216271470254388a - 620839078084370583603240179760 )x^{39} + (560958046870747836277679236632a^{2} - 226387138858010465801714919848a - 632833630971587211508977070912 )x^{38} + (626937314260234856443350415060a^{2} + 298972544281975349090110704424a + 225813005401724255821320858860 )x^{37} + (-188708813014447890783028330068a^{2} + 364236553230016614011985223160a - 108607090551175351931243040900 )x^{36} + (-87115626605605956472319624208a^{2} - 589568137407365743522627498424a + 522154411521425519885696395280 )x^{35} + (-440633693105397214720277863308a^{2} + 454176468311026649747135057648a - 557921980709209837982193924812 )x^{34} + (-397863789433635492232248909188a^{2} + 583777528036331647108694631520a + 390732637187481876632577007504 )x^{33} + (515065151051001349495156880196a^{2} - 287967720689587069038286637420a - 87516978087099882431634348504 )x^{32} + (-589787073167431453958137951792a^{2} - 443318002816043420329114261904a - 610291956460185400261519100528 )x^{31} + (328676559053587130285342295608a^{2} - 311418267730792740984036701056a + 81432701809928203103317974140 )x^{30} + (333034650688198681536259175744a^{2} + 197921308893217430342875346416a - 425025938677395556734922407992 )x^{29} + (-120731573573776334604529845432a^{2} - 325603200283515922300650724952a + 338404764945627883447706441648 )x^{28} + (606065310933421562060837892256a^{2} - 344354735462394396689162933880a + 289144890681582241587539330800 )x^{27} + (104676359035244352334186102260a^{2} - 214164542004319173730135224964a + 548732275529961899851810731332 )x^{26} + (512695209325162040040426767696a^{2} + 477650050587917179060026821296a - 566418070988934207705341302520 )x^{25} + (254399888105466477025152727512a^{2} + 123925256418771035394409772996a + 129949412670719781051948492560 )x^{24} + (-84652767592361035625050241424a^{2} + 524087675846323278432340667568a + 407269679670950894558005869000 )x^{23} + (276781260952487786115705890920a^{2} - 257326991177763023288862788528a - 572923602709961383135259675368 )x^{22} + (-17727341907078571361386036464a^{2} + 443791658601096924644675699160a + 527198906011429899607073414856 )x^{21} + (-210793628534774053664143999568a^{2} + 223604525260570434313112159936a - 309224096699727086837337147624 )x^{20} + (390127601628228391595835324952a^{2} - 398176694745464571168028622472a - 431941556828835277627012169496 )x^{19} + (-13194222406345624003522836604a^{2} + 85553459552816772138602913372a - 370558244428103718850271524056 )x^{18} + (-574222135235015917649087120400a^{2} + 484129283540665650911636833080a + 590685736455417071386982491336 )x^{17} + (-330728183442254231174058287648a^{2} + 433294359957443431507457612344a + 443735243162881144683321438376 )x^{16} + (-622982703845846585511969862128a^{2} - 576676084344843763923497266704a + 567735959150196046561555562336 )x^{15} + (-331209103494217980401191156192a^{2} + 410399184383498318931266859376a - 444274548775362305506299048944 )x^{14} + (-260957545908658693260178753704a^{2} - 328244279435489517943284533168a - 555072585432449604826483867624 )x^{13} + (-347665279306490943388010606004a^{2} + 323856721292392044647046722972a - 200354802155069803073776252340 )x^{12} + (536608360651943815989333978352a^{2} - 221184216698405758483351564016a - 519795135705788012390203314256 )x^{11} + (481693740875623877264263801672a^{2} + 394587334994484671772592176832a + 94167080001765603167624957512 )x^{10} + (138217192045383241928685550104a^{2} - 72652288056632336851966571344a - 394931724898242232657193285456 )x^{9} + (-218393690026671857556431408256a^{2} - 448695843929967625219754533728a - 57194533658219754495448035344 )x^{8} + (627218356373840859162700049072a^{2} + 422498293474431058926734991872a - 184409778032072277028198366896 )x^{7} + (-325381237663828743100510719104a^{2} - 121157234646097332584336267344a - 601082272102620099460278789928 )x^{6} + (-25596176132225490735065602352a^{2} + 186800048151459057425037848256a + 84086422706949650505530577984 )x^{5} + (-3191869849013834779880229952a^{2} - 141976885792863036680527800624a - 393959359377975534218078914592 )x^{4} + (422258941635688554572107193856a^{2} + 133594824547789941198486766896a - 343609206780873960878541999568 )x^{3} + (502137888317668869478795062120a^{2} + 329741879917894495639724278552a - 252464533989395755749362003080 )x^{2} + (-402818832781491800903914160688a^{2} + 548418108096663834425037780624a + 156991935446417170434280605872 )x + 96754731394527687940054929616a^{2} + 344344552039789040164240082744a - 548418491438344006586015053476 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary