← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.212992_303104_516096.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((126652553918734885685541556826a^{2} - 51662354770601955106139274514a - 19212949847967649221929369772)\mu_3 - 139626927449689614805928451207a^{2} - 90022944843025870146656139100a - 135323906147208499566913444733)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1)b + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} - a)\mu_3 - 3a + 4)b + (2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a)\cdot b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2)b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + (2a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2))b + ((-3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a - 1))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4))c + (-3\mu_3 + (a^{2} - a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b + (4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a + 2)b + ((a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1)b + (-a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a))\cdot b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b + (a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a - 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a + 2))c + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + (-3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 4)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 3))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + (-2a^{2} - 2a)\cdot b + 2a^{2}\mu_3)c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + (-3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a - 3)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a)\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + 4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((-a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 2a)\cdot c + ((2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 3))b^{2} + ((-3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b + ((2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((4a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-263834949806066703809709066268a^{2} - 538824413981795393077329486064a + 291395241545218581678394305868 )x^{47} + (156367851928031104425150121996a^{2} + 43262492214345305513145292788a + 288819526429171056992634524028 )x^{46} + (562747951481641552017156924424a^{2} + 403993492022904996657379882492a - 108099399383452148939692412112 )x^{45} + (238308255854790721416937086932a^{2} + 396132933395461029072563671056a + 11410732172790602723806452644 )x^{44} + (-183963649154948974724521711328a^{2} + 569275111727069569170535887272a - 340885626826226658512783079568 )x^{43} + (-386118591992750917795446464626a^{2} + 198316237661919464104229176458a - 268544468149865894046070959360 )x^{42} + (-292932428844891646860370412712a^{2} + 467498005460482531410042023044a - 382152655998605413288654197364 )x^{41} + (-108617918948188437044701306896a^{2} + 214948355934787974380238082524a - 491021519859642860026830668836 )x^{40} + (379187330534738255358381302624a^{2} - 75858929422422896941520246868a - 538830611702525325904647882784 )x^{39} + (376105059959304951042636453288a^{2} + 286521926012023427025880171112a - 369984207184845013573441301872 )x^{38} + (519441542911537552938826515684a^{2} - 366285206388353706197335353936a - 249981540542710156688545674444 )x^{37} + (-102146075498563436829302585260a^{2} + 406820697638416180402625512984a - 502578917554918442701519217764 )x^{36} + (-571626667413672835116434023584a^{2} + 511275714748937907683982072456a + 174455268068168758268575041424 )x^{35} + (262942319453965366804817938516a^{2} - 328877013367696638679205751696a - 65593858311841128792335537828 )x^{34} + (-99448200243100125367766603628a^{2} - 260685979105810170324090603616a + 460976876635486311831674820424 )x^{33} + (56343671246613574987460906756a^{2} - 176616788008822441429082832588a - 435837303255839797775516104072 )x^{32} + (-214298116831404926528775918608a^{2} + 425292462654496619835703516976a - 516233690209862821554654527920 )x^{31} + (203640062518295489336617475272a^{2} + 431332267989601867065084751392a - 463917617512981501048668042948 )x^{30} + (377867159800308322713920276768a^{2} - 83011013220221225710980030416a - 618776145739209674467093879192 )x^{29} + (394136325694689530289230467656a^{2} - 396100387847288781156221225400a - 12278056396697851090975936720 )x^{28} + (171028122924127100217464514832a^{2} + 572397439576400398007129505720a + 87515459386771757835661230592 )x^{27} + (-356962078549687623740517540284a^{2} + 125624155208561561078253113724a + 579736242181030465213913479588 )x^{26} + (412119745604562217069939724240a^{2} + 565170231112652268231180579088a - 154069315773556463766176594968 )x^{25} + (-101054193644445621434803005888a^{2} - 151762991318275884504104839796a + 478821324354047976746602902496 )x^{24} + (-47036270576906692757010812720a^{2} + 548938951770805904582067327088a + 506238244805434192059997906344 )x^{23} + (-382223969244113483644189595272a^{2} - 153685528115065711919695531712a + 264711646373697847379206566200 )x^{22} + (225036043747915897449470276272a^{2} + 498428696685833263749795634728a + 272315750068685345012030679528 )x^{21} + (42324410753481498792898614624a^{2} + 601406091315615145574321996048a + 596845846049879384232551173064 )x^{20} + (530622638553843787288099406264a^{2} + 440334922859513879654127073304a - 298179825959981393180681558104 )x^{19} + (-488837004967667463856601005932a^{2} - 453804021115755789232476252564a + 283918628957428908470333928136 )x^{18} + (53771462214133916406525566368a^{2} + 227276428889023505111860477768a - 449400720652740256878298443000 )x^{17} + (1344428032609034113191288080a^{2} - 246717226311943476774204893128a + 509438086479883555867950558792 )x^{16} + (-268432257773242844344584870576a^{2} - 517078325243941293330042707664a - 470736701342506856663045636704 )x^{15} + (-339612811465981472843257035808a^{2} + 469663777109757547256542218896a + 619077283217675208490202594128 )x^{14} + (-167958785893309570491525081416a^{2} + 626266011257370355004338871600a + 563522165268336207316599250072 )x^{13} + (218145407492975531487408614940a^{2} + 535475597174485739503975100620a + 52408817430573631334585127388 )x^{12} + (422439635728852041056668715984a^{2} - 59654246891179320496486130896a - 203070751846498247866313912240 )x^{11} + (434054808244926670314987454408a^{2} - 214085921343398704764305108848a - 173052772530218477013511918712 )x^{10} + (73453888964838971970934181112a^{2} - 353117416929130949160658318704a - 526350042983570467147109158864 )x^{9} + (-270475373586622003478272354944a^{2} - 299426480637737342711819771328a + 162735815163545699096593404592 )x^{8} + (42535204180216417279859950768a^{2} - 328361331740603327077227185920a - 269857761629951489551902877744 )x^{7} + (352907470522685195308004440848a^{2} + 577969883134584652007560894752a - 191945787128648103555099873096 )x^{6} + (-619550856021144055994358037936a^{2} - 441262259453201558697290747808a - 270417687521935954872994544640 )x^{5} + (-171237539976077559912293133600a^{2} + 570384089803657471664659486608a + 622553882298855668219149268288 )x^{4} + (118750485454037401387531168768a^{2} + 313099384073566677388956965232a - 174054726333180807280689068272 )x^{3} + (-478693548993397098821100866024a^{2} + 416248856919605053812088021688a - 427192654750773138249888220552 )x^{2} + (544505605403414982375900017520a^{2} + 620226488967794835213785915216a + 159589824961159442156575155952 )x - 116600841281733064637227278560a^{2} - 302772542703596555492577756680a - 231687012885474743245152660628 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary