← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.212992_303104_516096.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((126652553918734885685541556826a^{2} - 51662354770601955106139274514a - 19212949847967649221929369772)\mu_3 - 139626927449689614805928451207a^{2} - 90022944843025870146656139100a - 135323906147208499566913444733)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1)b + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} - a)\mu_3 - 3a + 4)b + (2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a)\cdot b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2)b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + (2a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2))b + ((-3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a - 1))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4))c + (-3\mu_3 + (a^{2} - a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b + (4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a + 2)b + ((a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1)b + (-a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a))\cdot b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b + (a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a - 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a + 2))c + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + (-3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 4)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 3))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + (-2a^{2} - 2a)\cdot b + 2a^{2}\mu_3)c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + (-3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a - 3)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a)\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + 4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((-a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 2a)\cdot c + ((2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 3))b^{2} + ((-3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b + ((2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((4a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-263834949806066703809709066268a^{2} - 538824413981795393077329486064a + 291395241545218581678394305868 )x^{47} + (-475787869706683153284486429428a^{2} + 68842910270242825849883889180a - 522263314022724847906944296396 )x^{46} + (226359264935778650692304032064a^{2} + 161893645514020016338182123428a + 274589256290530264366563730072 )x^{45} + (-315161852464708568638853834252a^{2} - 131361987236488906688708859440a - 224640595654518944144829123756 )x^{44} + (-43365122752161493876451029360a^{2} + 383972803139035264233077554088a + 187471325615200253644520772400 )x^{43} + (245114708444591152501379857854a^{2} - 232695938115797774485799917682a - 461077469631223779860852576836 )x^{42} + (504443864653047043545509022712a^{2} - 333382977742285604427746085404a + 506781797601409910277857438948 )x^{41} + (-314021065012013070889775704848a^{2} - 421476365232700441121841532068a + 594548798751639024129361874940 )x^{40} + (-407042661261994299568912849760a^{2} + 301972464130364547091568376188a - 453742943776250722041354251104 )x^{39} + (-218188696211690449698060210344a^{2} + 364705134135045813251960713896a + 195166746566618441488318942752 )x^{38} + (-371020733653391743158055739332a^{2} + 435349538326621952369208932136a + 70340773459245445451643596428 )x^{37} + (432017398460718633174160962220a^{2} + 37225760450793080170808948176a + 140571119048158672298655398924 )x^{36} + (355944844826840487926023344592a^{2} + 21819200512116221879346270280a - 519057535930826672223472607680 )x^{35} + (-624410922191764466318490952484a^{2} - 93379861089854328435062046672a - 116862631212539544086610177812 )x^{34} + (-59276874480802168558417909884a^{2} - 626384066896028182913400510344a - 50547691713366518939764331752 )x^{33} + (-10460989784740799850388844556a^{2} - 216771507003940102211470384060a - 69884715711843918392744642552 )x^{32} + (-65909167396387752262174360592a^{2} + 46590477828252358038621630480a + 77477820097365264125239272272 )x^{31} + (-455621274945163260928601410760a^{2} - 376868178419772124593277620240a + 480940922183396580285128002588 )x^{30} + (-307886028064323054887610712352a^{2} + 61726168779033070791200702672a - 464229692719344175475015247864 )x^{29} + (-589609459439412813759822112392a^{2} - 179863750657248950831986150712a - 1670754519980869131690183200 )x^{28} + (-101219100496418405687607209280a^{2} - 602830801864952645427146935640a - 39025541181202829320671497024 )x^{27} + (436605499223724677284630755924a^{2} + 379608327035665538182899230668a - 329670053892908935363752319500 )x^{26} + (-301558064020313077706834478736a^{2} - 143400069045862692402957645632a + 72436861612246721559752755256 )x^{25} + (-61638269631478302397503986024a^{2} + 273245769428513952996575888972a + 318813279097151359801154039880 )x^{24} + (-505081554187544598373728320624a^{2} + 619203325301699550195203671056a + 222974508908507002649217137896 )x^{23} + (562050646292738968747537150952a^{2} + 442514015340715813366526550016a + 106453487717700190168577023560 )x^{22} + (276347430572217033765069362640a^{2} - 536450124415239498753834155144a + 13462777180920573233057956248 )x^{21} + (318387152345229978908660795744a^{2} + 451559764552976231434570644320a - 199501850274759380417482155880 )x^{20} + (-466824999360678380463026274920a^{2} - 325386407896672783705099074856a - 535575028945836261712808736664 )x^{19} + (-202804132513307979598227891148a^{2} + 161382674732080706285971919772a + 443295814347052788039032329304 )x^{18} + (228652892697244159517528673104a^{2} + 61548509190504532953086633800a + 352621031987387667721376092184 )x^{17} + (457657436598739351714382309632a^{2} - 96103337262543132214325146968a + 234571107046673972030973472584 )x^{16} + (274326854407525429590602898384a^{2} + 70712091114017509212165475952a - 228950281147478807236565543200 )x^{15} + (145301042035445862768708350912a^{2} - 341711934449608328737788872304a + 191472136148656726882357569296 )x^{14} + (-626383689440216780175826362792a^{2} - 332746606920047255195313763408a - 190381303212413848775491674632 )x^{13} + (-507255494334351710550303575492a^{2} - 311060472413917344871526906772a + 195662701920075559099958575660 )x^{12} + (234750895486864208190088051440a^{2} - 432442609144779417736215114096a + 88041576748822278550452300720 )x^{11} + (-557507363824290017041875674328a^{2} + 52963742396103777451172594176a + 308034562895123838544249486584 )x^{10} + (-504516761996510472279130976264a^{2} - 480125289331758611110971919312a + 225177534205235682996698191024 )x^{9} + (402241226144596957664441117056a^{2} - 228808205887952500818543091712a - 438115519060351526189003485840 )x^{8} + (-579950247776858506156540217232a^{2} - 165296874462221410568230449280a + 323480463955084878394425479696 )x^{7} + (-562995565070421049965578991456a^{2} + 270044216205012012325098398400a + 571983672999012694255683935816 )x^{6} + (95584153371259957301100144528a^{2} - 161376885606936824280839754112a - 386184158640392135068049970080 )x^{5} + (-159875538933201887957117734016a^{2} + 56356400541709940987757297200a - 4533184918102220216314646560 )x^{4} + (460692415187979873745636054944a^{2} + 632075350567664249075840301680a - 220615260317662762427498057328 )x^{3} + (625623521854443965648638192744a^{2} + 178951579494856407064356247976a - 218317627214621239308919127528 )x^{2} + (-27859291524667572865117451568a^{2} + 485273505823474079837589538640a + 265515807488362144707399723280 )x - 283977058417514988944057843600a^{2} - 141014543597044919800803885112a + 91556178217211398329650132844 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary