← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.212992_303104_516096.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((126652553918734885685541556826a^{2} - 51662354770601955106139274514a - 19212949847967649221929369772)\mu_3 - 139626927449689614805928451207a^{2} - 90022944843025870146656139100a - 135323906147208499566913444733)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1)b + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} - a)\mu_3 - 3a + 4)b + (2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a)\cdot b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2)b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + (2a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2))b + ((-3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a - 1))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4))c + (-3\mu_3 + (a^{2} - a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b + (4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a + 2)b + ((a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1)b + (-a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a))\cdot b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b + (a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a - 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a + 2))c + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + (-3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 4)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 3))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + (-2a^{2} - 2a)\cdot b + 2a^{2}\mu_3)c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + (-3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a - 3)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a)\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + 4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((-a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 2a)\cdot c + ((2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 3))b^{2} + ((-3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b + ((2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((4a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-263834949806066703809709066268a^{2} - 538824413981795393077329486064a + 291395241545218581678394305868 )x^{47} + (298253315237960650561392053148a^{2} + 545847590319493170964216894948a + 540873945234315721641250163780 )x^{46} + (-236959061272459223190832259072a^{2} - 569788425297289257732351518916a - 603395923332067077528746711408 )x^{45} + (-290900550161437480168950449084a^{2} + 298610752003161815915278059504a + 346382656197344066880787498340 )x^{44} + (-400996055138861678182755839536a^{2} - 396573985210146169589555401736a + 500183525576909313112076692928 )x^{43} + (-106281445668454455743676514530a^{2} + 201190512691714826887394350002a + 589314137585051778247553831828 )x^{42} + (-16098758561039457297346432384a^{2} - 497878250424977175685111224980a + 413537866131335603669570356716 )x^{41} + (-499792326514739102183742650368a^{2} - 181147547406165756131411355940a + 205075669880042260834248059884 )x^{40} + (-441756351353019946798533743888a^{2} - 249983767412727466881641354468a - 153368226212747798488313464912 )x^{39} + (218043978555699565433864433256a^{2} + 329238515150243369133672306552a + 338431451306506465167707394416 )x^{38} + (555189648420138718536301635100a^{2} - 49984849635674877415463176912a + 579400326602939034879786128644 )x^{37} + (580622388091541584605329612388a^{2} - 242582564256300837483944522496a - 525261030173694930289869273924 )x^{36} + (130812273149332526232151514752a^{2} + 325092961354728927444370455592a - 599285474372390672565339413824 )x^{35} + (355433063772059946407130145436a^{2} + 153621846266519982632543182176a + 586729416529505522899614465668 )x^{34} + (270345213337444901595040901420a^{2} - 259704422231501273463203571656a + 262428162502722736862274799664 )x^{33} + (619005268000042515635309672852a^{2} - 509707411563540017058347491708a - 333589537928592951719114890248 )x^{32} + (-132655475758701768714924204400a^{2} + 594328442051092649636563418704a + 447863518151483501922925717776 )x^{31} + (366140305791276386181217537640a^{2} - 577924863899341986965381999632a + 624661949410456679192087469244 )x^{30} + (-430900922705508639319994150208a^{2} + 595373194145734411373260618896a + 340844072678129041926012848616 )x^{29} + (-364499853745803013155357901544a^{2} + 530319354371978593946540893480a + 632089890372636207482964653280 )x^{28} + (30836316478067593723805709552a^{2} + 413743863394131731517219155672a + 592636851752239082471981420176 )x^{27} + (-77963121284037535146512240572a^{2} - 36267359544440837449119121460a + 490130592186666304922175724948 )x^{26} + (116583864723896883287381870416a^{2} - 294640363406098685746463500128a - 366567849193850604510142921704 )x^{25} + (109232828809876262124456310176a^{2} - 412612382646056491750599168684a + 537478549847691298538679826760 )x^{24} + (-538071249674725715787184629712a^{2} - 249143804365676566818277613872a + 286641945987926046547559542344 )x^{23} + (134655552999263112394219037240a^{2} + 448932383684982671845613475312a + 187315224097557764354253122568 )x^{22} + (-580296845035259189705326735344a^{2} + 550242031992592394039294029160a + 568296113680115506988389985592 )x^{21} + (20590763396754395906714762672a^{2} - 159174847155907524320562463376a + 404555505981702325004739446024 )x^{20} + (251212911164318864365728529976a^{2} + 616475626199385104945467963832a + 450560784504443380506099558824 )x^{19} + (-58413843027276020840889501564a^{2} + 478602595620533283306756291244a + 170460623665367343702186547960 )x^{18} + (-403270441803314787390325978752a^{2} + 500015451333445159387341211928a - 319169634707017414236063536072 )x^{17} + (218209532197600743853079133712a^{2} - 551362713920830233939867590904a - 81073394497687552683711075960 )x^{16} + (617736251202360189238871462288a^{2} + 134854813664212351317716980528a - 610576509485572074033482293728 )x^{15} + (-325255456580919389548598664064a^{2} - 633457214857774175125439049424a - 364046195868864846138581501744 )x^{14} + (240601339565505463041241072440a^{2} + 92281670725526689663660230800a + 59148455181601008553847316792 )x^{13} + (-462279569519859091711969225076a^{2} + 402210622324179090572953091644a - 565409358730879531989470946372 )x^{12} + (395658657047859466842068241872a^{2} - 352974600161705090465866986384a + 133953313359448172679643146512 )x^{11} + (455689587991639268164858055112a^{2} + 421970511974572344422076034608a + 312941455906750715078121890680 )x^{10} + (-420580610442746072986635062760a^{2} + 448267924130358503387650051536a - 592569860150927797572274288976 )x^{9} + (-600970937804679091979212285824a^{2} + 169101742834487171132646164448a + 169225277279738265915970154608 )x^{8} + (405743293329940555928220514288a^{2} - 63234370336174177099189103232a + 471991397478300431137905363216 )x^{7} + (12126087069902139935043356016a^{2} - 357151394157526633975426364560a - 492089703748946385271071782520 )x^{6} + (-151098710370069045902253055408a^{2} + 263609985601993588080431366752a - 559465499000395590721355648096 )x^{5} + (467228988847573719251158447776a^{2} + 257206572952415079554092836976a - 121474289174581088020270875840 )x^{4} + (282420892623354511029283712416a^{2} - 75563846693777681379677326480a + 416483691236456384578975170096 )x^{3} + (42080353587699284409264233208a^{2} + 480599447470473875478242188904a - 481042032052028789965137321224 )x^{2} + (631780703752866672715308498672a^{2} - 298553996777506270946305574192a + 426775339624532813185381441744 )x - 543353338982410152622807665152a^{2} + 57238482366937350081589817384a - 26758401765443163622202528868 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary