← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.212992_303104_516096.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((126652553918734885685541556826a^{2} - 51662354770601955106139274514a - 19212949847967649221929369772)\mu_3 - 139626927449689614805928451207a^{2} - 90022944843025870146656139100a - 135323906147208499566913444733)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1)b + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} - a)\mu_3 - 3a + 4)b + (2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a)\cdot b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2)b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + (2a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2))b + ((-3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a - 1))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4))c + (-3\mu_3 + (a^{2} - a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b + (4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a + 2)b + ((a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1)b + (-a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a))\cdot b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b + (a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a - 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a + 2))c + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + (-3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 4)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 3))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + (-2a^{2} - 2a)\cdot b + 2a^{2}\mu_3)c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + (-3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a - 3)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a)\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + 4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((-a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 2a)\cdot c + ((2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 3))b^{2} + ((-3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b + ((2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((4a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-263834949806066703809709066268a^{2} - 538824413981795393077329486064a + 291395241545218581678394305868 )x^{47} + (49968944270211359930650855588a^{2} - 248132632404993538334956798596a + 380125893199433225136426925228 )x^{46} + (-216020946856731160408790240240a^{2} - 631720153801803441890267465588a - 515790884152301617299060763000 )x^{45} + (-292042297855698301224813313932a^{2} + 633705948194946638779618566864a - 419428623854254778761415304876 )x^{44} + (41073993766326725849408233856a^{2} - 97373288084785549722355616344a + 383933788014311953643611569744 )x^{43} + (120598908923534036382630126962a^{2} - 486338782807581103645324570298a + 255652323663887514362377385480 )x^{42} + (-601340935016297767396401113272a^{2} - 346439609242874658500571577492a - 200878439883801860769020650132 )x^{41} + (396871916380863960310209178288a^{2} + 130642987233426320806172984780a - 459758809892558232514923091652 )x^{40} + (619148312213943892542241480240a^{2} - 60347730233640413599700367540a + 51063296607875518963786344096 )x^{39} + (384986031307295736984669543448a^{2} + 149724676028192226683668586408a - 85321352202034572443253538208 )x^{38} + (113794676564676393376113240764a^{2} - 141477517039903239430765628368a + 585150461688030617397948424620 )x^{37} + (-319139396092392345710502600132a^{2} + 542832486448107489728078243744a - 617372534638020121259977949244 )x^{36} + (-112319660389156424847984081696a^{2} + 230087107642107613152849840696a + 294962586534325630947813491248 )x^{35} + (-273060323598478862157781978252a^{2} + 207366896226713936360646045144a - 153698808806631650416101776972 )x^{34} + (96145558022392017646122301132a^{2} + 204009194586033499986183379600a - 348594533068871224999970764968 )x^{33} + (-260315107092184654293591844940a^{2} + 75671880616165764030127534948a - 559746197804742505349587873160 )x^{32} + (412358039693591508037843733168a^{2} - 303512909322281050228602664272a + 151232093553211203770276775504 )x^{31} + (237567114123521246863312116664a^{2} + 43081116591724678396506288528a - 126364975297799035609944224724 )x^{30} + (-518523728236902527810793163200a^{2} + 324985864854195799982505856464a + 554430533290024407283746018248 )x^{29} + (593546207912098869780063796280a^{2} + 463762303123397094334456897544a + 599487076299361197446599733488 )x^{28} + (-253878338642295572691739825136a^{2} + 458641290106097761213059978744a - 195752312372470108787038544352 )x^{27} + (-95162109214866336149835859884a^{2} + 544660619003279871748388573564a + 593143384988510774970577165860 )x^{26} + (389593599524511349375602863424a^{2} + 20190055236407517305276801584a + 341709647435101872608697365400 )x^{25} + (-610826126579924093695699408096a^{2} - 424241236241307639097634356324a - 327144874550139595274339138824 )x^{24} + (-333652192398466702805422348496a^{2} + 278828854743715802276797842800a - 41268984420269046729540227288 )x^{23} + (-447740786012928621334514382152a^{2} - 4415144359716752193711631872a - 548411612420248527057717954296 )x^{22} + (-527385951643006466953586929248a^{2} - 453249815695397085873521114728a + 609357838617673528638354069640 )x^{21} + (-401574004103393599573136773456a^{2} - 617410540432019136122184799312a - 591414977170864170299765680152 )x^{20} + (-196811271811170733032859084616a^{2} + 14671943885959926911538696824a + 305503588968941697305901997480 )x^{19} + (-474584120976394046682049986476a^{2} + 179323173719464170408683071724a + 525268859616163987444609315656 )x^{18} + (450017357834723728421984740960a^{2} - 74443363227205978995843737720a - 249093307269821127825763779080 )x^{17} + (288501220432515462343313311712a^{2} - 513518581709904560698180986520a - 594225608108406848641443124072 )x^{16} + (193156898334381350783874636560a^{2} - 184401692183677552929752854736a - 452760462232688817656914142816 )x^{15} + (-631741763661120065854339409664a^{2} + 571911952100276585975625118992a - 588121750697129677409164015472 )x^{14} + (15855190309745332353349374456a^{2} - 160007991908202918657067314064a - 2206190865009942400678469576 )x^{13} + (-548390850746844718188758918276a^{2} + 292550255368864945754328397436a - 98960995862775818125610666276 )x^{12} + (-245227745835840496242282241840a^{2} - 530171684293180626254807031472a + 617433049065377939930658203504 )x^{11} + (-610694588647096503531265663272a^{2} - 244870797840120580255722685632a - 525160321593974512174679018328 )x^{10} + (248192526802351219811575069560a^{2} - 294686926982071597302485956048a + 383007075065291178444494720464 )x^{9} + (-514591825983088673074210845120a^{2} - 127061596648452476270999946336a - 410105640581217649959023091120 )x^{8} + (17576807234178249460390091376a^{2} + 5031830568817053138843241984a + 269119200090130208062547629520 )x^{7} + (85871673135586448405147136592a^{2} + 137780719994288388154860512864a - 471256833669314361778500411736 )x^{6} + (500386714416394452588039758960a^{2} - 454404946173158213480153689984a - 206554681838154560503198906688 )x^{5} + (-14797211515026554854956188256a^{2} + 10718741905558452609564719568a - 624645144602406989573492320512 )x^{4} + (-579353979920342866806406542656a^{2} + 212645700811619382617524229264a + 485000723374298757716623012208 )x^{3} + (412611289930480458611283833384a^{2} + 172617126224126921232383896264a + 182730976859727838984152266024 )x^{2} + (117232820629151423508324081904a^{2} - 38420598218323498139628106256a + 298997262838193536459497064624 )x - 539211822689495316165249940480a^{2} + 567506903709526898637692148872a + 575692016369529386387711366108 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary